اختيار الصيغة المناسبة: الترتيب والتكرار
هناك أربع صيغ عدّ متمايزة، ويتحدّد الاختيار بينها بالإجابة عن سؤالين مستقلين بنعم أو لا: هل الترتيب مهم؟ وهل التكرار مسموح؟
| هل الترتيب مهم؟ | هل التكرار مسموح؟ | الصيغة | مثال تطبيقي |
|---|---|---|---|
| نعم | لا | nPr = n! ÷ (n − r)! | منح المراكز الأول والثاني والثالث بين 7 عدّائين |
| نعم | نعم | nʳ | تكوين رمز سري من 3 خانات بالأرقام 0–6 مع السماح بالتكرار |
| لا | لا | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | اختيار لجنة من 3 أشخاص من بين 7 أشخاص |
| لا | نعم | C(n+r−1, r) | اختيار 3 كرات مثلجات من 7 نكهات مع السماح بالتكرار |
- قيمة nCr أصغر من nPr أو مساوية لها دائمًا عند القيم نفسها لـ n وr (وتحديدًا nCr = nPr ÷ r!)، لأن التوافيق تدمج كل ترتيبات المجموعة الواحدة البالغ عددها r! في عدّة واحدة.
- عندما تكون r = 0، تساوي كل من nPr وnCr القيمة 1 اصطلاحًا، إذ توجد طريقة واحدة فقط لاختيار صفر من العناصر، وهي الاختيار الخالي.
- وعندما تكون r = n (من دون تكرار)، تصبح nPr = n! وnCr = 1، لأنه لا توجد سوى طريقة واحدة لاختيار العناصر n جميعها كمجموعة غير مرتّبة، بينما توجد !n طريقة لترتيبها كلها.
ما التباديل والتوافيق؟
التبديلة هي ترتيب للعناصر يكون فيه التسلسل مهمًا. ويُرمز لعدد تباديل r عنصرًا مختارة من مجموعة من n عنصرًا متمايزًا (من دون تكرار) بالرمز nPr، وهو يُحصي الترتيبات من نوع «المركز الأول، الثاني، الثالث» حيث يؤدي تبديل عنصرين مختارين إلى نتيجة مختلفة تمامًا.
أما التوفيقة فهي اختيار للعناصر لا يكون فيه الترتيب ذا أهمية. ويُرمز لعدد توافيق r عنصرًا مختارة من n عنصرًا متمايزًا بالرمز nCr (ويُسمى أيضًا «n اختر r» أو معامل ذات الحدين)، وهو يُحصي التجميعات مثل تشكيل لجنة أو توزيع يد من أوراق اللعب، حيث تُعدّ المجموعة نفسها بترتيب مختلف نتيجة واحدة لا نتيجتين.
السؤال الحاسم الذي يميّز بين الحالتين هو: هل تتغيّر النتيجة إذا أعدنا ترتيب العناصر المختارة نفسها؟ إذا كان الجواب نعم (مثل توزيع الميداليات الذهبية والفضية والبرونزية، أو رصّ الكتب على رف)، فاستخدم التباديل. وإذا كان الجواب لا (مثل اختيار لجنة من ثلاثة أشخاص، أو سحب يد من أوراق اللعب)، فاستخدم التوافيق. تعرض هذه الحاسبة كذلك الصيغتين «مع التكرار»، وهما تنطبقان حين يجوز اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة (مثل اختيار أرقام رمز سري، أو اختيار نكهات المثلجات مع السماح بتكرار النكهة).
كيفية استخدام حاسبة التباديل والتوافيق
- أدخل n، أي العدد الإجمالي للعناصر المتمايزة المتاحة للاختيار منها.
- أدخل r، أي عدد العناصر المراد اختيارها أو ترتيبها. ويجب أن تكون r أصغر من n أو مساوية لها: فإذا تجاوزت r قيمة n، لا تعرض الحاسبة أي نتيجة على الإطلاق، بما في ذلك نتائج التكرار المسموح.
- اقرأ قيمة التباديل (nPr) إذا كان ترتيب الاختيار مهمًا والتكرار غير مسموح، أو قيمة التوافيق (nCr) إذا كان الترتيب غير مهم والتكرار غير مسموح.
- في الحالات التي يجوز فيها اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة، اعتمد نتائج «مع التكرار» بدلًا من قيمتَي nPr وnCr المعتادتين.
صيغتا التباديل والتوافيق
عدد تباديل r عنصرًا مختارة من n من دون تكرار يساوي nPr = n! ÷ (n − r)!، وهو يكافئ حاصل ضرب r من الأعداد الصحيحة المتتالية التنازلية ابتداءً من n. مثال محلول عند n = 7 وr = 3: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210، وهو عدد الطرق الممكنة لمنح الجوائز الأولى والثانية والثالثة المتمايزة بين 7 متسابقين.
وعدد توافيق r عنصرًا مختارة من n من دون تكرار يساوي nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. فالقسمة على r! تلغي الطرق المختلفة لترتيب كل مجموعة مختارة، لأن التوافيق لا تميّز بين الترتيبات. مثال محلول عند n = 7 وr = 3: 7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35، وهو عدد اللجان المتمايزة المكوّنة من 3 أشخاص التي يمكن تشكيلها من 7 أشخاص.
أما التباديل مع السماح بالتكرار (حيث يمكن لكل موضع من المواضع r أن يأخذ أيًّا من العناصر n باستقلال عن الباقي) فتساوي ببساطة nʳ. فعند n = 7 وr = 3: 7³ = 343، وهو مثلًا عدد الرموز المتمايزة المكوّنة من 3 خانات باستخدام الأرقام 0–6 مع السماح بالتكرار. وتُحسب التوافيق مع التكرار بطريقة «النجوم والفواصل» عبر الصيغة C(n + r − 1, r). فعند n = 7 وr = 3: C(9, 3) = 84، وهو مثلًا عدد الطرق لاختيار 3 كرات مثلجات من 7 نكهات مع السماح بتكرار النكهة وإهمال الترتيب.
أخطاء شائعة
- استخدام صيغة التباديل في مسألة لا يهم فيها الترتيب فعليًا (أو العكس) — تحقّق أولًا مما إذا كان تبديل عنصرين مختارين يغيّر النتيجة قبل أن تختار الصيغة.
- إغفال التحقق من السماح بالتكرار — فمسألة «اختيار رمز سري» (حيث يجوز تكرار الأرقام) تحتاج صيغة مختلفة عن مسألة «توزيع أوراق من مجموعة لعب» (بلا تكرار، إذ لا تعود الورقة إلى المجموعة).
- تطبيق nPr أو nCr بقيمة r أكبر من n في حالة عدم السماح بالتكرار — وهذا غير معرَّف، لأنه لا يمكن اختيار عناصر متمايزة أكثر مما تحتويه المجموعة أصلًا من دون تكرار أحدها.
- الخلط بين «التوافيق مع التكرار» (صيغة النجوم والفواصل) وبين nCr العادية — فالنتيجتان مختلفتان تمامًا وتنطبقان على حالتين مختلفتين: السماح بالتكرار أو منعه.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديلة والتوفيقة؟
التبديلة تُحصي الترتيبات التي يكون فيها التسلسل مهمًا (nPr = n! ÷ (n−r)!)، مثل تحديد المراكز الأول والثاني والثالث. أما التوفيقة فتُحصي الاختيارات التي لا يهم فيها الترتيب (nCr = n! ÷ (r!(n−r)!))، مثل تشكيل لجنة. فعند n = 7 وr = 3 نجد أن 7P3 = 210 (مرتّبة) بينما 7C3 = 35 (غير مرتّبة)، لأن كل مجموعة من 3 أشخاص يمكن ترتيبها بـ 3! = 6 طرق مختلفة، و210 ÷ 6 = 35.
كيف تُحسب nCr (n اختر r)؟
استخدم الصيغة nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). فعند n = 7 وr = 3: 7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35. ويمكنك بدلًا من ذلك حساب nPr أولًا (7 × 6 × 5 = 210) ثم القسمة على r! (أي 3! = 6): 210 ÷ 6 = 35.
كيف تُحسب nPr؟
استخدم الصيغة nPr = n! ÷ (n − r)!، والتي تُختصر إلى حاصل ضرب r من الأعداد الصحيحة المتتالية التنازلية ابتداءً من n. فعند n = 7 وr = 3: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210.
متى ينبغي السماح بالتكرار في مسائل التباديل والتوافيق؟
اسمح بالتكرار حين يجوز اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة ضمن النتيجة الواحدة، كأرقام الرمز السري، أو نكهات المثلجات حين يستطيع الزبون اختيار النكهة نفسها لأكثر من كرة. ولا تسمح بالتكرار حين لا يمكن استخدام العنصر إلا مرة واحدة، كتوزيع أوراق لعب متمايزة، أو إسناد أدوار مختلفة إلى أشخاص مختلفين.
ما قيمة nPr عندما تساوي r قيمة n؟
عندما تكون r = n (أي ترتيب العناصر n كلها من دون تكرار)، تُختصر nPr إلى n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!. وهذا يمثّل إجمالي عدد الطرق لترتيب العناصر n المتمايزة جميعها في صف واحد؛ فمثلًا يمكن ترتيب 5 عناصر ترتيبًا كاملًا بـ 5! = 120 طريقة.
ماذا تعني طريقة «النجوم والفواصل» في التوافيق مع التكرار؟
«النجوم والفواصل» هي الأسلوب التوفيقي المعياري لعدّ التوافيق مع السماح بالتكرار، وينتج عنه الصيغة C(n + r − 1, r). وتقوم الفكرة على تمثيل العناصر المختارة r على هيئة «نجوم» تفصل بينها «فواصل» تحدّد الحدود بين الفئات n، ثم عدّ ترتيبات النجوم والفواصل. فعند n = 7 وr = 3: C(9, 3) = 84.
المراجع
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)