السؤال الجوهري: هل يهم الترتيب؟
يحسب كل من التباديل والتوافيق عدد طرق اختيار r عنصرًا من مجموعة تضم n عنصرًا مميّزًا، لكنهما يجيبان عن سؤالين مختلفين. يحسب التبديل عدد طرق اختيار وترتيب r عنصرًا، لذا يُحسَب اختياران يحتويان العناصر نفسها بترتيب مختلف كنتيجتين منفصلتين. أما التوافيق فتحسب فقط عدد طرق اختيار r عنصرًا، لذا يُحسَب اختياران يحتويان العناصر نفسها كنتيجة واحدة بغض النظر عن الترتيب الذي اختيرا به.
طريقة بسيطة لتحديد أيهما ينطبق: تخيّل اختيارين يستخدمان العناصر نفسها بالضبط لكن يسردانها أو يرتبانها بشكل مختلف. فإذا مثّل هذان الاختياران نتيجتين واقعيتين مختلفتين حقًا — ترتيبين مختلفين، كلمتي مرور مختلفتين، ترتيبَي وصول مختلفين في سباق — فإن الترتيب يهم والتبديل هو العدّ الصحيح. أما إذا مثّل الاختياران النتيجة الواقعية نفسها — اللجنة نفسها، يد الورق نفسها، مجموعة أرقام اليانصيب نفسها — فإن الترتيب لا يهم والتوافيق هي العدّ الصحيح.
الصيغتان: nPr و nCr، مع مثال موثّق
عدد تباديل r عنصرًا مختارة من n عنصرًا مميّزًا هو nPr = n! / (n − r)!، وعدد التوافيق هو nCr = n! / [r! (n − r)!] — صيغة التوافيق هي صيغة التبديل مقسومة على r!، لأن القسمة على r! تُزيل r! من الترتيبات المختلفة لكل مجموعة من العناصر نفسها التي يعاملها عدّ التبديل كترتيبات منفصلة.
مثال محلول: اختيار 3 عناصر من مجموعة من 7. التباديل: 7P3 = 7! / (7−3)! = 7 × 6 × 5 = 210. التوافيق: 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35. عدد التوافيق يساوي بالضبط عدد التباديل مقسومًا على 3! = 6، مما يؤكد العلاقة nCr = nPr / r!.
| الكمية | الصيغة | القيمة عند n=7، r=3 |
|---|---|---|
| التباديل (الترتيب يهم) | nPr = n! / (n − r)! | 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 |
| التوافيق (الترتيب لا يهم) | nCr = n! / [r!(n − r)!] | 7C3 = 210 / 3! = 35 |
مع التكرار مقابل بدون تكرار
تفترض الصيغتان أعلاه أن كل عنصر من العناصر n يمكن اختياره مرة واحدة على الأكثر — أي أخذ عيّنات بدون تكرار. عندما يمكن إعادة استخدام العناصر (أخذ عيّنات مع تكرار، ويُسمى أيضًا أخذ عيّنات مع إعادة)، تتغير صيغ العدّ. تباديل مع السماح بالتكرار ترفع n ببساطة إلى القوة r، لأن كل موضع من المواضع r يملك بشكل مستقل جميع الخيارات n المتاحة بغض النظر عمّا اختير قبله: n^r.
تستخدم التوافيق مع السماح بالتكرار صيغة مختلفة، C(n + r − 1, r)، التي تحسب عدد طرق اختيار r عنصرًا من n نوعًا عندما يُسمح بالتكرار ولا يزال الترتيب لا يهم — وهذه حالة أقل شيوعًا لكنها تنشأ، مثلًا، عند اختيار كرات آيس كريم من n نكهة حيث يمكن اختيار النكهة نفسها أكثر من مرة.
| الحالة | الصيغة | مثال نموذجي |
|---|---|---|
| تباديل، بدون تكرار | n! / (n − r)! | ترتيب 3 فائزين من 7 متأهلين |
| تباديل، مع تكرار | n^r | رمز PIN من 4 أرقام يمكن تكرارها |
| توافيق، بدون تكرار | n! / [r!(n − r)!] | اختيار 6 أرقام لتذكرة يانصيب |
| توافيق، مع تكرار | (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] | اختيار 3 كرات من 5 نكهات آيس كريم، مع السماح بالتكرار |
أمثلة محلولة: رمز PIN وتذكرة يانصيب
رمز PIN من 4 أرقام، حيث يمكن أن يكون كل موضع من المواضع الأربعة أي رقم من 0 إلى 9 ويمكن تكرار الأرقام (القاعدة المعتادة لأرقام PIN المصرفية)، هو مثال على التباديل مع التكرار: الترتيب يهم (1234 و 4321 رمزان مختلفان) والتكرار مسموح، مما يعطي 10^4 = 10,000 رمز PIN ممكن. وإذا لم يكن التكرار مسموحًا بدلًا من ذلك، تنخفض القيمة إلى قيمة التبديل بدون تكرار، 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 — احتمالات أقل، لأن كل رقم يُستخدم يزيل خيارًا واحدًا للمواضع المتبقية.
صيغة يانصيب كلاسيكية تسحب 6 أرقام من مجموعة تضم 49 رقمًا، دون تكرار أي رقم وبدون أن يكون ترتيب السحب مهمًا لتحديد فوز التذكرة، هي مثال على التوافيق بدون تكرار: C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13,983,816. هذا الرقم الضخم هو بالضبط سبب وصف مثل هذه الصيغ اليانصيبية بألعاب الاحتمالات الطويلة — ينمو عدّ التوافيق بسرعة كبيرة جدًا مع تزايد n نسبة إلى r، لأنه يعدّ مجموعات غير مرتبة من مجموعة كبيرة لا مجموعة صغيرة وثابتة من الترتيبات.
طريقة سريعة لتذكّر أي صيغة تُستخدم
«التبديل» و«الموضع» يبدآن بحرف مشابه في الإنجليزية، ووسيلة مساعدة مفيدة هي أن التباديل تهتم بالموضع — أين يقع كل عنصر في التسلسل. أما «التوافيق» فتصف مجموعة مدمجة، مثل محتويات حقيبة أو لجنة، حيث تهم العضوية فقط، لا التسلسل الذي أُضيف به الأعضاء.
كلمات المرور، وأرقام PIN، وترتيب السباقات، وأي ترتيب للجلوس أو الجدولة هي مسائل تبديل، لأن تبديل الترتيب يغيّر النتيجة. أما يد الورق، ومجموعات أرقام اليانصيب، وعضويات اللجان، وأي اختيار لمجموعة غير مرتبة فهي مسائل توافيق، لأن الأعضاء هم الشيء الوحيد المهم، لا التسلسل الذي اختيروا به.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديل والتوافيق؟
يحسب التبديل الترتيبات حيث يهم الترتيب، لذا يُحسَب اختيار العناصر نفسها بترتيب مختلف كنتيجة مختلفة. أما التوافيق فتحسب الاختيارات حيث لا يهم الترتيب، لذا تُحسَب العناصر نفسها بأي ترتيب كنتيجة واحدة. يبدأ كلاهما من المجموعة نفسها من n عنصرًا ويتضمن اختيار r منها، لكن عدد التباديل يكون دائمًا أكبر من أو يساوي عدد التوافيق المقابل لنفس n و r.
ما هو 7P3 وكيف يُحسب؟
7P3 يساوي 210، وهو عدد طرق اختيار وترتيب 3 عناصر من مجموعة تضم 7 عناصر مميّزة حيث يهم الترتيب. يُحسب على النحو 7P3 = 7! / (7 − 3)! = 7 × 6 × 5 = 210، بضرب أكبر ثلاثة عوامل من 7! معًا لأن العوامل الأصغر تُحذف مع (7−3)! في المقام.
ما هو 7C3 وكيف يُحسب؟
7C3 يساوي 35، وهو عدد طرق اختيار 3 عناصر من مجموعة تضم 7 عناصر مميّزة حيث لا يهم الترتيب. يُحسب على النحو 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35 — وهو بالضبط عدد التباديل، 7P3 = 210، مقسومًا على 3! (عدد طرق إعادة ترتيب كل مجموعة من 3 عناصر)، إذ تدمج التوافيق كل ترتيبات المجموعة نفسها في نتيجة واحدة.
لماذا تستخدم أرقام PIN التباديل وتستخدم اليانصيب التوافيق؟
يعامل رمز PIN 1234 و 4321 كرمزين مختلفين، لذا فإن ترتيب الأرقام يغيّر النتيجة، وهو سيناريو تبديل — مع السماح بالتكرار لرمز PIN نموذجي من 4 أرقام، مما يعطي 10^4 = 10,000 احتمال. أما تذكرة اليانصيب فتفوز بناءً على الأرقام التي سُحبت فقط، لا الترتيب الذي خرجت به، لذا فإن سحبين بالأرقام نفسها بترتيب مختلف هما النتيجة الفائزة نفسها، وهو سيناريو توافيق — بالنسبة لصيغة 6 من 49، C(49,6) = 13,983,816 مجموعة أرقام ممكنة.
ماذا تعني عبارة «مع التكرار» في صيغة التبديل أو التوافيق؟
تعني أنه يمكن اختيار عنصر أكثر من مرة ضمن النتيجة نفسها. تستخدم التباديل مع السماح بالتكرار n^r (كل موضع من المواضع r يملك بشكل مستقل جميع الخيارات n)، بينما تستخدم التوافيق مع السماح بالتكرار (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!]. وبدون تكرار، يمكن استخدام كل عنصر مرة واحدة على الأكثر، وهو ما تفترضه صيغتا nPr و nCr القياسيتان.
المراجع
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018 (permutations, combinations, and counting with repetition).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (combinatorial counting methods).
- Weisstein EW. "Permutation" and "Combination." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.