Bảng đổi đơn vị góc
Mỗi đơn vị như một phần của vòng đầy đủ, cùng giá trị theo độ và theo radian.
| Đơn vị | Độ | Radian | Phần của một vòng |
|---|---|---|---|
| 1 vòng | 360 | 6,2831853 | 1 |
| 1 độ | 1 | 0,017453293 | 1/360 |
| 1 grad | 0,9 | 0,015707963 | 1/400 |
| 1 radian | 57,295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 phút góc | 0,016666667 | 0,00029088821 | 1/21.600 |
| 1 giây góc | 0,00027777778 | 0,0000048481368 | 1/1.296.000 |
| 1 milliradian | 0,057295780 | 0,001 | 1/(2000π) |
- Mọi hệ số trong bảng này đều chính xác theo định nghĩa. Các giá trị thập phân hiển thị đã được làm tròn, nhưng những quan hệ nền tảng — 360 độ, 400 grad và 2π radian mỗi vòng — không mang chút bất định đo đạc nào.
- Milliradian dùng ở đây là milliradian góc thực sự, tức 1/1000 radian. Một số môn bắn súng dùng mil hơi khác: mil NATO chia vòng thành 6.400 phần thay vì 6.283,19, nên hãy kiểm tra ống ngắm hay vạch chia đang nói tới loại nào trước khi đổi.
- Hàm lượng giác trong bảng tính và ngôn ngữ lập trình hầu như luôn chờ radian. Truyền độ cho chúng là một trong những nguyên nhân phổ biến nhất khiến phép tính hình học sai một cách âm thầm.
Những đơn vị góc thường gặp
Góc đo phép quay, và mọi đơn vị đều là một phần của vòng tròn đầy đủ. Độ chia vòng thành 360 phần, một quy ước thừa hưởng từ thiên văn Babylon còn tồn tại vì 360 chia hết cho rất nhiều số nguyên. Radian chia vòng thành 2π phần và là đơn vị SI: một radian là góc chắn cung có độ dài bằng bán kính.
Radian không phải một lựa chọn tùy tiện. Giải tích mặc định dùng nó — đạo hàm của sin x chỉ bằng cos x khi x tính bằng radian — và các công thức độ dài cung, diện tích hình quạt cũng vậy, nên một góc nhập bằng độ phải được đổi trước khi áp dụng bất kỳ công thức nào trong số đó.
Grad, còn gọi là gon, chia vòng thành 400 phần, nhờ đó góc vuông đúng bằng 100 gon. Nó được dùng trong trắc địa, nhất là ở lục địa châu Âu. Phút góc và giây góc chia độ cho 60 và 3.600 phục vụ thiên văn và hàng hải, còn milliradian dùng trong quang học và đạn đạo, nơi một milliradian chắn khoảng một mét ở cự ly một kilômét.
Cách dùng công cụ đổi góc
- Nhập góc bạn muốn đổi. Giá trị âm được chấp nhận: một phương vị hay một phép quay có thể đo theo cả hai chiều.
- Chọn đơn vị của nó: độ, radian, grad, vòng, phút góc, giây góc hoặc milliradian.
- Đọc giá trị tương đương ở tất cả các đơn vị khác cùng lúc.
- Hãy dùng radian cho bất kỳ giá trị nào đi vào một công thức lượng giác, một đạo hàm hay một phép tính độ dài cung.
Các hệ số đằng sau công cụ đổi góc
Giá trị được đổi sang radian, rồi từ đó sang từng đơn vị đích. Vì một vòng đầy đủ vừa là 2π radian vừa là 360 độ, 400 grad và 1 vòng, mọi hệ số đều suy ra chính xác từ những đồng nhất thức ấy.
Ví dụ: 45° tính theo radian là 45 × π/180 = π/4 = 0,78539816 rad. Theo grad: 45 × 400/360 = đúng 50 gon. Theo vòng: 45/360 = đúng 0,125. Theo giây góc: 45 × 3.600 = đúng 162.000.
Những lỗi thường gặp
- Truyền độ cho một hàm lượng giác vốn chờ radian. Nếu 30 bị đọc là radian thì sin(30) bằng −0,988, chứ không phải 0,5 như bạn muốn.
- Lẫn milliradian góc (1/1000 rad, 6.283,19 mỗi vòng) với mil NATO (6.400 mỗi vòng). Hai bên chênh nhau khoảng 1,9%.
- Đọc phút góc thành phút thời gian. Một phút góc là 1/60 độ; ở đây các ký hiệu ′ và ″ chỉ góc, không phải thời lượng.
- Cho rằng góc vuông là 90 trong mọi đơn vị. Nó là 90°, nhưng là 100 gon, π/2 rad và 0,25 vòng.
Câu hỏi thường gặp
1 radian bằng bao nhiêu độ?
57,295780 độ, tức 180/π. Quan hệ này suy ra từ việc một vòng đầy đủ vừa là 360 độ vừa là 2π radian, nên một radian bằng 360/(2π) = 180/π độ. Phép đổi ngược là 1° = π/180 ≈ 0,017453293 rad.
Vì sao nhà toán học dùng radian thay vì độ?
Vì giải tích chỉ gọn gàng khi dùng radian. Đạo hàm của sin x bằng cos x, và xấp xỉ góc nhỏ sin x ≈ x, chỉ đúng khi x đo bằng radian. Độ dài cung (rθ) và diện tích hình quạt (½r²θ) cũng mặc định như vậy. Nếu dùng độ, mỗi biểu thức trong số đó đều mọc thêm hệ số π/180.
Grad dùng để làm gì?
Chủ yếu cho trắc địa ở lục địa châu Âu. Chia vòng thành 400 phần khiến góc vuông đúng bằng 100 gon, nhờ đó các góc phần tư và độ dốc rơi vào những con số tròn — rất tiện khi đọc máy kinh vĩ. Nó còn được gọi là gon hay grade.
Một độ có bao nhiêu giây góc?
3.600. Một độ chia thành 60 phút góc, và mỗi phút góc lại chia thành 60 giây góc, cho ra 3.600 giây góc mỗi độ và 1.296.000 trong một vòng đầy đủ. Các nhà thiên văn dùng những phần chia này vì vị trí thiên thể đòi hỏi độ phân giải tinh hơn nhiều so với độ.
Xét về mặt thực dụng thì milliradian là gì?
Một phần nghìn radian, chắn gần đúng một mét ở cự ly một kilômét — chính tính chất này khiến nó hữu dụng trong quang học và đo xa. Cần lưu ý rằng một số môn bắn súng dùng mil định nghĩa là 1/6400 vòng, chênh khoảng 1,9%.
Tài liệu tham khảo
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.