μ Калькулятор среднего значения

Какое среднее выбрать?

Каждое среднее отвечает на свой вопрос. В таблице ниже показано, в каких случаях уместно каждое из них.

• Геометрическое и гармоническое средние определены только для строго положительных значений. Калькулятор не выводит их, если в списке есть нули или отрицательные числа.
• Для любого набора положительных данных среднее арифметическое >= среднего геометрического >= среднего гармонического, причём равенство достигается, только когда все значения совпадают (неравенство о средних AM-GM-HM).
• Усреднение процентных темпов роста арифметическим средним завышает накопленный рост; правильный эквивалентный постоянный темп даёт среднее геометрическое коэффициентов роста.

Что такое среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое?

Среднее арифметическое — это сумма значений, делённая на их количество. Оно подходит для величин, которые складываются: рост, баллы за тест, температура. Именно его большинство людей и называет «средним».

Среднее геометрическое — это корень n-й степени из произведения n положительных значений. Оно подходит для величин, которые перемножаются, — темпов роста и отношений: среднее геометрическое годовых коэффициентов роста даёт постоянный темп, который привёл бы к такому же итоговому росту. Оно определено только для строго положительных данных: ноль обращает произведение в ноль, а отрицательные значения могут сделать корень недействительным.

Среднее гармоническое — это количество значений, делённое на сумму обратных к ним величин. Оно подходит для усреднения скоростей и других отношений с фиксированным числителем; классический пример — средняя скорость на равных по длине участках пути. Как и геометрическое, оно требует, чтобы все значения были положительными. Для любого набора положительных данных три средних связаны неравенством: арифметическое >= геометрическое >= гармоническое, причём равенство достигается только тогда, когда все значения одинаковы.

Как пользоваться калькулятором среднего

1. Введите числа через точку с запятой, например: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
2. Посмотрите среднее арифметическое — оно выводится всегда.
3. Если все значения положительны, посмотрите также среднее геометрическое и гармоническое; при наличии нуля или отрицательных чисел они не определены и поэтому не выводятся.
4. Выберите то среднее, которое соответствует вашей задаче: арифметическое — для складывающихся величин, геометрическое — для темпов роста и отношений, гармоническое — для скоростей и подобных отношений на равных отрезках.

Формулы трёх средних

Среднее арифметическое: сложите n значений и разделите на n. Среднее геометрическое: перемножьте n значений и извлеките корень n-й степени (на практике его вычисляют как экспоненту от среднего логарифмов). Среднее гармоническое: разделите n на сумму обратных величин.

Разобранный пример со значениями 1, 4, 16. Арифметическое: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Геометрическое: произведение равно 1 x 4 x 16 = 64, а кубический корень из 64 равен 4. Гармоническое: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, то есть примерно 2,285714. Обратите внимание: 7 >= 4 >= 2,285714 — это и есть неравенство между арифметическим, геометрическим и гармоническим средними.

Пример со скоростью для гармонического среднего: если проехать одинаковое расстояние сначала со скоростью 30 км/ч, а затем 60 км/ч, средняя скорость составит 2 / (1/30 + 1/60) = 40 км/ч, а не 45 км/ч, как дало бы среднее арифметическое, потому что на медленном участке проведено больше времени.

Типичные ошибки

• Применение среднего арифметического к темпам роста: год с +50 % и следующий год с -50 % дают арифметическое среднее 0 %, хотя вложение в итоге потеряло 25 %; истинное среднее изменение отражает геометрическое среднее коэффициентов 1,5 и 0,5 (около 0,866).
• Усреднение скоростей на равных по длине участках арифметическим средним — здесь нужно гармоническое среднее.
• Применение геометрического или гармонического среднего к данным с нулями или отрицательными значениями, где они не определены.
• Ожидание, что все три средних совпадут, — это происходит только тогда, когда все значения в списке одинаковы.

Часто задаваемые вопросы

Источники

1. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
2. Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
3. Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).