Как понимать полученное среднее
Среднее — лишь одна из мер центральной тенденции. В таблице ниже они сравниваются на примере данных 12, 15, 18, 22, 9.
| Показатель | Значение для 12, 15, 18, 22, 9 | Пояснение |
|---|---|---|
| Среднее (арифметическое) | 15,2 | Сумма / количество; учитывает каждое значение; чувствительно к выбросам |
| Медиана | 15 | Среднее по положению значение упорядоченного ряда 9, 12, 15, 18, 22 |
| Минимум | 9 | Наименьшее значение |
| Максимум | 22 | Наибольшее значение |
| Размах | 13 | Максимум минус минимум; простая мера разброса |
- Среднее чувствительно к крайним значениям: одно очень большое или очень маленькое число способно заметно его сдвинуть. Сравните среднее с медианой, чтобы обнаружить скошенность.
- Среднее по выборке оценивает среднее той совокупности, из которой выборка взята, но из-за случайности отбора эти величины обычно различаются; см. калькулятор доверительного интервала.
- Усреднять проценты или показатели можно только при одинаковой базе; иначе требуется взвешенное среднее.
Что такое среднее значение?
Среднее — формально среднее арифметическое — самая распространённая мера центра набора данных. Его получают, сложив все значения и разделив сумму на их количество. Среднее уравновешивает данные: отклонения значений выше среднего в точности компенсируют отклонения ниже него.
Среднее арифметическое использует каждое значение выборки, что делает его информативным, но и чувствительным к выбросам. Одно крайнее значение способно увести среднее далеко от основной массы данных: например, если к списку 12, 15, 18, 22, 9 добавить значение 100, среднее вырастет с 15,2 примерно до 29,3. Для скошенных данных вроде доходов или цен на жильё вместе со средним (или вместо него) обычно приводят медиану.
Слово «среднее» иногда употребляют вольно и по отношению к другим мерам центра — медиане (среднее по положению значение) и моде (наиболее часто встречающееся значение). В учебниках статистики и в этом калькуляторе под средним понимается именно среднее арифметическое, если не оговорено иное.
Как пользоваться калькулятором среднего
- Введите свои числа через точку с запятой, например: 12; 15; 18; 22; 9. Допускаются дробные и отрицательные числа.
- Посмотрите среднее (среднее арифметическое) — это сумма, делённая на количество значений.
- Сверьте вспомогательные показатели — сумму, количество, минимум и максимум, — чтобы убедиться, что калькулятор разобрал список так, как вы задумали.
- Для проверки вручную сложите все значения и разделите итог на количество введённых чисел.
Формула среднего арифметического
Среднее арифметическое n значений x1, x2, ..., xn равно их сумме, делённой на n.
Разбор примера: значения 12, 15, 18, 22, 9. Шаг 1 — складываем: 12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76. Шаг 2 — считаем количество: n = 5. Шаг 3 — делим: 76 / 5 = 15,2. Среднее равно 15,2.
Среднее всегда лежит между минимумом и максимумом данных. Оно равно тому значению, которое получило бы каждое наблюдение при равном распределении итога: если разделить 76 поровну между 5, каждому достанется 15,2.
Типичные ошибки
- Усреднять средние без весов: среднее двух групповых средних совпадает с общим средним только при равной численности групп.
- Применять среднее к сильно скошенным данным (доходы, цены на жильё), где несколько крупных значений задают тон, — медиана здесь обычно показательнее.
- Пропустить значение при подсчёте n — делитель должен в точности равняться количеству просуммированных значений.
- Усреднять скорости на равных расстояниях средним арифметическим — в такой ситуации нужно среднее гармоническое (см. калькулятор средних).
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить среднее значение?
Сложите все числа, а затем разделите итог на их количество. Например, для 12, 15, 18, 22 и 9 сумма равна 76, а чисел пять, поэтому среднее составляет 76 / 5 = 15,2.
Чем среднее отличается от медианы?
В обиходе «среднее» обычно означает среднее арифметическое: сумму, делённую на количество значений. Медиана — это среднее по положению значение упорядоченного ряда, а мода — наиболее часто встречающееся значение. Все три являются мерами центральной тенденции, но при скошенных данных или наличии выбросов они могут заметно расходиться.
Когда среднее вводит в заблуждение?
Когда данные скошены или содержат выбросы. Поскольку среднее арифметическое учитывает каждое значение, одно крайнее наблюдение способно увести его далеко от того места, где сосредоточена основная часть данных. Например, средний доход группы вытягивает вверх единственный очень высокий заработок, тогда как медианный доход остаётся прежним. Публикация и среднего, и медианы даёт более полную картину.
Может ли среднее не совпадать ни с одним числом списка?
Да, и чаще всего так и происходит. Среднее чисел 12, 15, 18, 22 и 9 равно 15,2 — такого значения в списке нет. Среднее — это точка равновесия данных, а не обязательно наблюдаемое значение; классический пример — среднее число детей в семье, равное 1,9.
Как выбросы влияют на среднее?
Каждое значение вносит в сумму одинаковый вклад, поэтому число, далёкое от остальных, тянет среднее к себе. Если к списку 12, 15, 18, 22, 9 добавить 100, среднее изменится с 15,2 до (76 + 100) / 6 = 29,33 (округлённо). Медиана сдвигается значительно меньше — поэтому её и предпочитают для данных, склонных к выбросам.
Источники
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.