Как понимать результат критерия хи-квадрат
В таблице ниже приведены стандартные критические значения хи-квадрат при общепринятом уровне значимости α = 0,05 для распространённых чисел степеней свободы. Если наблюдаемая статистика χ² превышает указанное значение, отклонение от ожидаемого распределения статистически значимо.
| Число степеней свободы (df) | Критическое χ² при α = 0,05 |
|---|---|
| 1 | 3,841 |
| 2 | 5,991 |
| 3 | 7,815 |
| 4 | 9,488 |
| 5 | 11,070 |
| 6 | 12,592 |
| 8 | 15,507 |
| 10 | 18,307 |
- Широко применяемое эмпирическое правило (приводимое в стандартных учебниках статистики) гласит, что приближение хи-квадрат надёжно, когда каждая ожидаемая частота составляет не менее 5; при меньших ожидаемых частотах уместнее точный критерий.
- Калькулятор выполняет только проверку согласия — одной категориальной переменной с предполагаемым распределением, — а не критерий хи-квадрат независимости двух категориальных переменных, где ожидаемые частоты вычисляются иначе, по итогам строк и столбцов.
- Списки наблюдаемых и ожидаемых частот должны быть одинаковой длины, содержать не менее 2 категорий, а каждая ожидаемая частота должна быть строго положительной.
- Статистически значимый результат говорит о том, что распределение по категориям отличается от предполагаемых долей; сам по себе он не указывает, какая именно категория даёт отклонение и насколько велико различие с практической точки зрения.
Что такое критерий хи-квадрат согласия?
Критерий хи-квадрат согласия сопоставляет наблюдаемые частоты по набору категорий с частотами, которые ожидались бы при некотором предполагаемом распределении, и измеряет величину расхождения между ними. Данный калькулятор выполняет только проверку согласия — для одной категориальной переменной, сравниваемой с ожидаемыми долями, — а не родственный критерий хи-квадрат независимости, который оценивает связь двух категориальных переменных в таблице сопряжённости.
Статистика критерия складывает по всем категориям квадраты отклонений наблюдаемых частот от ожидаемых, нормированные на ожидаемую частоту: чем больше отклонения относительно ожидаемых значений, тем больше величина χ² и тем сильнее свидетельство против предполагаемого распределения.
Поскольку χ² всегда неотрицательна, критерий по своей природе односторонний: свидетельством плохого согласия считаются только необычно большие значения χ² (относительно распределения хи-квадрат с соответствующим числом степеней свободы) — «отрицательного» направления для проверки здесь просто не существует.
Как пользоваться калькулятором критерия хи-квадрат
- Введите наблюдаемые частоты по каждой категории списком через точку с запятой, например 30; 25; 22; 23.
- Введите ожидаемые частоты для тех же категорий и в том же порядке списком через точку с запятой, например 25; 25; 25; 25.
- Убедитесь, что оба списка одинаковой длины (не менее 2 категорий) и что каждая ожидаемая частота строго больше нуля.
- Считайте статистику χ², число степеней свободы (число категорий минус 1) и значение p, после чего сравните значение p с выбранным уровнем значимости (обычно α = 0,05).
Формула критерия хи-квадрат согласия
Статистика хи-квадрат равна χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ, где суммирование ведётся по всем k категориям, Oᵢ — наблюдаемая частота, а Eᵢ — ожидаемая частота в категории i. Число степеней свободы равно k − 1, то есть на единицу меньше числа категорий.
Значение p — это вероятность получить статистику χ² не меньше вычисленной, согласно распределению хи-квадрат с данным числом степеней свободы, при условии, что предполагаемое (ожидаемое) распределение верно.
Разбор примера: наблюдаемые частоты 30, 25, 22, 23 при ожидаемых частотах по 25. χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0,36 + 0,16 = 1,52, при df = 4 − 1 = 3. Это заметно ниже критического значения 7,815 для α = 0,05 при 3 степенях свободы, поэтому результат статистически не значим.
Типичные ошибки
- Применять критерий согласия там, где на самом деле речь идёт о двух категориальных переменных и связи между ними: для этого нужен критерий хи-квадрат независимости с таблицей сопряжённости и вычислением ожидаемых частот, а не единственный список «наблюдаемое против ожидаемого».
- Нарушать требование к ожидаемым частотам: если ожидаемые частоты малы (обычно ниже 5 хотя бы в одной категории), приближение хи-квадрат становится ненадёжным и уместнее точный критерий.
- Вводить списки наблюдаемых и ожидаемых частот разной длины или перечислять категории в разном порядке — тогда сравнение идёт не по тем категориям.
- Вводить нулевую ожидаемую частоту: слагаемое (O − E)² / E для такой категории становится неопределённым.
- Считать статистически значимую величину χ² доказательством большого или практически важного различия: значимость говорит лишь о том, что отклонение вряд ли случайно, а не о его величине.
Часто задаваемые вопросы
Для чего применяют критерий хи-квадрат согласия?
Он проверяет, соответствуют ли наблюдаемые частоты по набору категорий ожидаемым частотам предполагаемого распределения — например, согласуются ли наблюдаемые частоты выпадения граней игральной кости с ожидаемым равномерным распределением или ответы респондентов с предполагаемыми долями.
Как вычисляется статистика хи-квадрат?
χ² = Σ (наблюдаемое − ожидаемое)² / ожидаемое с суммированием по всем категориям. Чем больше расхождения между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, особенно относительно ожидаемой частоты, тем больше величина χ².
Чему равно число степеней свободы в критерии согласия?
Число степеней свободы равно числу категорий минус 1 (df = k − 1). Для 4 категорий, как в разобранном на этой странице примере, df = 3.
Почему ожидаемые частоты должны быть не менее 5?
Распределение статистики критерия хорошо приближается распределением хи-квадрат только при достаточно больших ожидаемых частотах. Часто цитируемое эмпирическое правило требует, чтобы каждая ожидаемая частота была не менее 5; ниже этой границы значение p, полученное из приближения хи-квадрат, может быть неточным, и предпочтительнее точный критерий.
Это то же самое, что критерий хи-квадрат независимости?
Нет. Данный калькулятор выполняет критерий согласия, который сравнивает наблюдаемые частоты одной категориальной переменной с предполагаемым распределением. Критерий независимости проверяет наличие связи между двумя категориальными переменными по таблице сопряжённости, где ожидаемые частоты вычисляются из итогов строк и столбцов, — это другой расчёт.
Источники
- Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — chi-square goodness-of-fit test. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (chi-square goodness-of-fit test and expected-count guidelines).
- Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
- Agresti A. Categorical Data Analysis. Wiley (chi-square goodness-of-fit and independence tests).