Как понимать доверительный интервал
Ширина интервала отражает точность оценки. В таблице ниже показано, как интервал для примера (среднее 50, sd 8, n = 100) меняется в зависимости от уровня доверия.
| Уровень доверия | Значение z | Предельная ошибка | Интервал |
|---|---|---|---|
| 90 % | 1.6449 | 1.316 | 48.684 - 51.316 |
| 95 % | 1.96 | 1.568 | 48.432 - 51.568 |
| 99 % | 2.5758 | 2.061 | 47.939 - 52.061 |
- Более высокий уровень доверия даёт более широкий интервал: за уверенность приходится платить точностью.
- Это интервал на основе z-распределения. Для малых выборок (n примерно меньше 30) со стандартным отклонением, оценённым по данным, распределение Стьюдента даёт более точный и немного более широкий интервал.
- Интервал предполагает, что выборка простая случайная, а при малом n — что исходные данные распределены приблизительно нормально. Смещённый отбор обесценивает интервал независимо от его ширины.
- Увеличение объёма выборки вчетверо вдвое сокращает ширину интервала, поскольку стандартная ошибка меняется пропорционально 1 / sqrt(n).
Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал — это рассчитанный по выборочным данным диапазон, который должен накрывать истинный параметр генеральной совокупности (здесь — её среднее) с заявленной частотой успеха в длинной серии повторений. Уровень доверия 95 % означает, что при многократном повторении той же процедуры отбора примерно 95 % построенных таким образом интервалов будут содержать истинное среднее.
Интервал центрирован на выборочном среднем и отклоняется на одну предельную ошибку в каждую сторону. Предельная ошибка — это критическое значение z, умноженное на стандартную ошибку среднего, а стандартная ошибка равна стандартному отклонению, делённому на квадратный корень из объёма выборки. Более крупные выборки уменьшают стандартную ошибку, а значит и интервал, пропорционально корню из n: увеличение объёма выборки вчетверо вдвое сокращает ширину интервала.
Правильное прочтение интервала с уровнем 95 % — это утверждение о процедуре, а не о конкретном интервале: строго говоря, нельзя сказать, что с вероятностью 95 % истинное среднее лежит именно внутри этого интервала — истинное среднее есть фиксированная величина, и каждый вычисленный интервал либо содержит её, либо нет. Эти 95 % относятся к тому, как часто метод срабатывает при повторных выборках.
Как пользоваться калькулятором доверительного интервала
- Введите выборочное среднее — среднее арифметическое ваших измерений.
- Введите стандартное отклонение. Используйте выборочное стандартное отклонение (с делителем n - 1), рассчитанное по вашим данным, либо значение по генеральной совокупности, если оно известно.
- Введите объём выборки n (не менее 2) и выберите уровень доверия: 90 %, 95 % или 99 %.
- Прочитайте интервал, предельную ошибку и стандартную ошибку. Учтите, что для малых выборок (обычно n меньше 30) при неизвестном стандартном отклонении совокупности интервал, построенный по t-распределению, немного шире и точнее.
Формула доверительного интервала
Интервал для среднего по z-распределению: выборочное среднее плюс-минус z, умноженное на (стандартное отклонение / sqrt(n)). Критические значения z равны 1,6449 для 90 %, 1,96 для 95 % и 2,5758 для 99 % — это точки стандартного нормального распределения, оставляющие соответствующую суммарную вероятность в двух хвостах.
Разобранный пример: среднее 50, стандартное отклонение 8, n = 100, уровень доверия 95 %. Шаг 1 — стандартная ошибка: 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Шаг 2 — предельная ошибка: 1,96 x 0,8 = 1,568. Шаг 3 — интервал: 50 - 1,568 = 48,432 и 50 + 1,568 = 51,568, то есть доверительный интервал 95 % — от 48,432 до 51,568.
Калькулятор использует стандартное нормальное (z) распределение, что уместно, когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно либо выборка достаточно велика. Если выборка мала (обычно n меньше 30), а стандартное отклонение оценивается по самой выборке, распределение Стьюдента (t) с n - 1 степенями свободы даёт немного более широкий и более точный интервал; с ростом n различие сходит на нет.
Частые ошибки
- Трактовать интервал с уровнем 95 % как «95 % данных попадают в этот диапазон»: интервал описывает неопределённость среднего, а не разброс отдельных наблюдений.
- Утверждать, что с вероятностью 95 % истинное среднее лежит именно в этом интервале; 95 % описывают частоту успеха процедуры в длинной серии повторных выборок.
- Применять z-интервал к малой выборке с оценённым стандартным отклонением, тогда как уместно t-распределение.
- Вводить стандартную ошибку вместо стандартного отклонения — калькулятор сам делит на sqrt(n).
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать доверительный интервал 95 %?
Вычислите стандартную ошибку (стандартное отклонение, делённое на квадратный корень из объёма выборки), умножьте её на 1,96, чтобы получить предельную ошибку, и прибавьте эту величину к выборочному среднему и вычтите из него. Пример: среднее 50, sd 8, n = 100 дают SE = 0,8, предельную ошибку 1,568 и интервал от 48,432 до 51,568.
Что на самом деле означает уровень доверия 95 %?
Он описывает поведение метода в длинной серии повторений: если многократно отбирать выборки одинакового объёма и строить по каждой интервал, примерно 95 % таких интервалов будут содержать истинное среднее генеральной совокупности. Любой отдельный интервал либо содержит истинное среднее, либо нет — 95 % относятся к свойству процедуры, а не одного интервала.
Когда использовать t-распределение вместо z?
Используйте распределение Стьюдента, когда выборка мала (распространённое эмпирическое правило — n меньше 30), а стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно и оценивается по выборке. У t-распределения тяжелее хвосты, поэтому интервал получается немного шире и корректно учитывает дополнительную неопределённость; при больших выборках интервалы по t и по z становятся практически одинаковыми.
Как сделать доверительный интервал уже?
Есть три способа: увеличить объём выборки (ширина уменьшается пропорционально 1 / sqrt(n), поэтому четырёхкратное увеличение n сокращает её вдвое), согласиться на более низкий уровень доверия (интервал 90 % уже, чем 99 %) или снизить изменчивость измерений, чтобы уменьшилось само стандартное отклонение.
Чем стандартная ошибка отличается от стандартного отклонения?
Стандартное отклонение измеряет разброс отдельных наблюдений вокруг среднего. Стандартная ошибка измеряет неопределённость самого выборочного среднего и равна стандартному отклонению, делённому на sqrt(n). С ростом выборки стандартное отклонение стабилизируется вблизи своего значения по совокупности, а стандартная ошибка продолжает уменьшаться, стремясь к нулю.
Источники
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).