Как понимать результат расчёта биномиального распределения
В таблице ниже показано, как определяется каждый режим расчёта и в каких случаях он уместен.
| Режим | На какой вопрос отвечает | Формула |
|---|---|---|
| Ровно k | Какова вероятность ровно k успехов? | P(X = k) |
| Не более k | Какова вероятность k успехов или меньше? | P(X ≤ k) |
| Не менее k | Какова вероятность k успехов или больше? | P(X ≥ k) |
- Распространённое эмпирическое правило (приводимое в стандартных учебниках статистики): биномиальное распределение можно с приемлемой точностью заменить нормальным, если и n × p, и n × (1 − p) не меньше 5, причём поправка на непрерывность дополнительно улучшает приближение.
- Биномиальная модель требует независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха; выборка без возвращения из небольшой конечной совокупности нарушает независимость, и там нужно гипергеометрическое распределение.
- Значение k должно быть целым числом от 0 до n включительно; нецелые или выходящие за этот диапазон значения k не являются допустимыми биномиальными исходами.
- Режимы «не более k» и «не менее k + 1» дополняют друг друга и в сумме дают 100 % (равно как «не более k − 1» и «не менее k» в сумме дают 100 %).
Что такое биномиальное распределение?
Биномиальное распределение описывает число успехов в фиксированном количестве независимых испытаний (n), каждое из которых имеет одну и ту же вероятность успеха (p) и всего два возможных исхода — успех или неудача. Классические примеры: число выпадений орла при заданном количестве бросков монеты или число бракованных изделий в выборке фиксированного объёма с производственной линии, если вероятность успеха от испытания к испытанию не меняется.
Распределение дискретно: число успехов k принимает только целые значения от 0 до n. Его форма зависит и от n, и от p — при p = 0,5 оно симметрично, а по мере приближения p к 0 или 1 становится всё более скошенным.
Два основных допущения — независимость (исход одного испытания не влияет на другие) и постоянство вероятности успеха во всех испытаниях. Если выборка делается без возвращения из небольшой конечной совокупности, эти допущения нарушаются и уместнее применять гипергеометрическое распределение.
Как пользоваться калькулятором биномиального распределения
- Введите число испытаний n.
- Введите вероятность успеха в одном испытании p в процентах.
- Введите число успехов k (целое число от 0 до n).
- Выберите режим: ровно k успехов, не более k успехов или не менее k успехов — и прочитайте полученную вероятность вместе с математическим ожиданием и стандартным отклонением распределения.
Формула биномиальной вероятности
Вероятность ровно k успехов в n испытаниях задаётся функцией вероятности биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, где C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) — число способов выбрать k успехов из n испытаний.
Режим «не более k» суммирует эту вероятность по всем исходам от 0 до k; режим «не менее k» — по исходам от k до n (что равносильно единице минус вероятность не более k − 1 успехов).
Математическое ожидание распределения (среднее число успехов) равно n × p, а стандартное отклонение — √(n × p × (1 − p)).
Разбор примера: n = 20 испытаний, p = 50 %, ровно k = 8 успехов. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01 %. Математическое ожидание равно 20 × 0,5 = 10, а стандартное отклонение — √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Частые ошибки
- Применение биномиального распределения к зависимым испытаниям или к ситуации, где вероятность успеха меняется от испытания к испытанию, — например, при выборке без возвращения из небольшой совокупности.
- Ошибки на единицу при выборе режима: «не менее 4» не является дополнением к «не более 4»; дополнением к «не более 4» служит «не менее 5».
- Ввод вероятности успеха в виде доли (0,5) вместо процентов (50) там, где поле ожидает проценты.
- Применение биномиального распределения к непрерывной величине или к подсчёту с более чем двумя возможными исходами испытания (для последнего нужна мультиномиальная модель).
- Забывчивость относительно того, что биномиальное распределение предполагает неизменность p во всех n испытаниях: дрейф вероятности со временем делает модель неприменимой.
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать биномиальную вероятность?
Воспользуйтесь формулой P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, где n — число испытаний, p — вероятность успеха, а C(n, k) — число способов расположить k успехов среди n испытаний. Для режимов «не более» и «не менее» просуммируйте эту формулу по соответствующему диапазону значений k.
Какие условия должны выполняться для применения биномиального распределения?
Число испытаний (n) должно быть фиксированным, каждое испытание должно иметь только два исхода (успех или неудача), вероятность успеха (p) должна оставаться постоянной во всех испытаниях, а сами испытания должны быть независимы друг от друга.
Каково ожидаемое число успехов?
Математическое ожидание (среднее) биномиального распределения равно n × p. Например, при 20 испытаниях и вероятности успеха 50 % ожидаемое число успехов составляет 20 × 0,5 = 10.
Чем различаются режимы «ровно», «не более» и «не менее»?
«Ровно k» — это вероятность в точности k успехов. «Не более k» суммирует вероятности исходов от 0 до k успехов. «Не менее k» суммирует вероятности от k до n успехов; она равна единице минус вероятность не более k − 1 успехов.
Когда биномиальное распределение можно приблизить нормальным?
Общепринятое эмпирическое правило гласит, что приближение приемлемо, если и n × p, и n × (1 − p) не меньше 5. За пределами этого условия — особенно при малом n или при p, далёком от 0,5, — надёжнее точный биномиальный расчёт.
Источники
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).