Как понимать свою z-оценку
В таблице ниже приведены отдельные z-оценки и соответствующие им процентили стандартного нормального распределения.
| Z-оценка | Процентиль (доля ниже) | Трактовка |
|---|---|---|
| -2 | 2,28 % | На два стандартных отклонения ниже среднего; необычно низко |
| -1 | 15,87 % | На одно стандартное отклонение ниже среднего |
| 0 | 50 % | Точно на уровне среднего (и медианы — для нормального распределения) |
| +1 | 84,13 % | На одно стандартное отклонение выше среднего |
| +2 | 97,72 % | На два стандартных отклонения выше среднего; необычно высоко |
| +3 | 99,87 % | На три стандартных отклонения выше среднего; при нормальности встречается редко |
- Процентили предполагают, что исходное распределение приблизительно нормально. Для асимметричных данных и данных с тяжёлыми хвостами перевод z в процентиль ненадёжен, хотя сама z-оценка определена корректно.
- По правилу трёх сигм около 68 % нормального распределения лежит в пределах от z = -1 до +1, около 95 % — от -2 до +2 и около 99,7 % — от -3 до +3.
- Z-оценка ничего не говорит о том, хорошо это значение или плохо, — только о том, насколько далеко оно от среднего своего собственного распределения.
Что такое z-оценка?
Z-оценка стандартизует значение, выражая его расстояние от среднего в единицах стандартного отклонения. Z-оценка 0 означает, что значение равно среднему; +1 — на одно стандартное отклонение выше среднего; -2 — на два стандартных отклонения ниже. Стандартизация приводит измерения из разных шкал к общему знаменателю, поэтому z-оценки используют для сравнения результатов тестов, показателей роста и лабораторных значений из разных распределений.
Если исходное распределение нормальное (колоколообразное), z-оценка напрямую переводится в процентиль через функцию распределения (CDF) стандартного нормального закона. CDF даёт долю распределения, лежащую ниже заданного z: например, около 84,13 % нормального распределения лежит ниже z = 1 и около 97,72 % — ниже z = 2. Этот калькулятор вычисляет стандартную нормальную CDF по приближению Абрамовица и Стиган (формула 7.1.26) с точностью около 7.5 x 10^-8.
Трактовка процентиля зависит от нормальности. Z-оценку можно посчитать для любых данных, но перевод её в процентиль через нормальную CDF корректен лишь при приблизительно нормальном распределении; для асимметричных данных и данных с тяжёлыми хвостами указанные процентили могут вводить в заблуждение.
Как пользоваться калькулятором z-оценки
- Введите значение (x), которое нужно стандартизовать, — например, индивидуальный результат теста.
- Введите среднее того распределения, из которого взято значение.
- Введите стандартное отклонение распределения; оно должно быть больше нуля.
- Считайте z-оценку, процентиль (долю распределения ниже значения в предположении нормальности) и долю выше.
Формула z-оценки
Z-оценка — это значение минус среднее, делённое на стандартное отклонение: z = (x - среднее) / sd. Положительное z означает, что значение выше среднего, отрицательное — ниже.
Разбор примера: x = 130, среднее = 100, стандартное отклонение = 15 (классическая шкала IQ). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Значение лежит ровно на два стандартных отклонения выше среднего. По стандартной нормальной CDF доля ниже z = 2 равна 0,9772, поэтому значение находится в 97,72-м процентиле, а выше него лежит около 2,28 % распределения.
Процентили берутся из функции распределения стандартного нормального закона: процентиль = CDF(z) x 100, а доля выше = (1 - CDF(z)) x 100. CDF не выражается в замкнутой форме; калькулятор использует приближение 7.1.26 из Абрамовица и Стиган (1964).
Частые ошибки
- Перевод z-оценок в процентили для явно ненормальных данных — отображение через нормальную CDF предполагает колоколообразное распределение.
- Путаница со знаком: отрицательная z-оценка означает, что значение ниже среднего, а не ошибку и не невозможный результат.
- Деление на дисперсию вместо стандартного отклонения — в знаменателе формулы z стоит именно стандартное отклонение.
- Использование среднего и стандартного отклонения одной генеральной совокупности для стандартизации значения из другой группы: такое сравнение лишено смысла.
- Смешение процентиля с процентом правильных ответов: 97,7-й процентиль означает результат выше, чем примерно у 97,7 % распределения, а не 97,7 % баллов за тест.
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать z-оценку?
Вычтите среднее из значения и разделите на стандартное отклонение: z = (x - среднее) / sd. Например, результат 130 по шкале со средним 100 и стандартным отклонением 15 даёт z = (130 - 100) / 15 = 2, то есть результат на два стандартных отклонения выше среднего.
Какому процентилю соответствует z-оценка 2?
Примерно 97,72-му процентилю. Функция распределения стандартного нормального закона в точке z = 2 равна 0,9772: значит, 97,72 % нормального распределения лежит ниже этого значения и 2,28 % — выше.
Какая z-оценка считается хорошей?
Z-оценки — нейтральные измерения, а не отметки: желательность конкретного z полностью зависит от контекста. Z = +2 отлично для результата теста, но тревожно для артериального давления. Значения за пределами примерно -2 и +2 принято считать необычными, поскольку вне этого диапазона лежит менее 5 % нормального распределения.
Может ли z-оценка быть отрицательной?
Да. Отрицательная z-оценка просто означает, что значение лежит ниже среднего. Например, z = -1,5 указывает на значение на полтора стандартных отклонения ниже среднего — примерно 6,68-й процентиль нормального распределения.
Нужно ли для z-оценок нормальное распределение?
Сама z-оценка — расстояние от среднего в единицах стандартного отклонения — определена для любого распределения. Однако перевод z-оценки в процентиль через стандартную нормальную CDF, как это делает калькулятор, корректен только при приблизительно нормальном распределении. Для асимметричных данных процентили следует считать непосредственно по данным.
Насколько точен показанный процентиль?
Стандартная нормальная CDF не имеет точного выражения в замкнутой форме, поэтому калькулятор использует рациональное приближение 7.1.26 из Абрамовица и Стиган (1964), абсолютная погрешность которого ниже 7.5 x 10^-8 — намного точнее, чем отображаемые два знака после запятой.
Источники
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).