Как понимать четыре результата
В таблице ниже показан каждый результат для примера P(A) = 50 %, P(B) = 30 % при условии независимости.
| Исход | Формула | Значение в примере |
|---|---|---|
| И A, и B | P(A) x P(B) | 0.5 x 0.3 = 15% |
| Хотя бы одно (A или B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0.5 + 0.3 - 0.15 = 65% |
| A не происходит | 1 - P(A) | 1 - 0.5 = 50% |
| Не происходит ни одно | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0.5 x 0.7 = 35% |
- Все результаты предполагают независимость A и B. Если события влияют друг на друга (зависимые события), эти формулы неприменимы и нужны условные вероятности.
- «Произойдёт хотя бы одно» и «не произойдёт ни одно» — противоположные события: их вероятности в сумме всегда дают 100 %.
- Вероятности описывают частоты в длинной серии повторений; вероятность 15 % не означает, что событие наступит ровно в 15 из следующих 100 испытаний.
Что такое вероятность совмещённых событий?
Вероятность — это число от 0 до 1 (или от 0 % до 100 %), выражающее, насколько правдоподобно наступление события: 0 означает невозможность, 1 — достоверность. Когда два события рассматриваются вместе, стандартные правила теории вероятностей определяют, как их отдельные вероятности складываются в вероятность совместных исходов, таких как «произойдут оба» или «произойдёт хотя бы одно».
Калькулятор исходит из того, что два события независимы: знание о наступлении одного из них ничего не говорит о том, наступит ли другое. Подбрасывания монеты, независимые броски кубика и не связанные между собой случайные выборки — классические примеры независимости. При независимости вероятность того, что произойдут оба события, равна просто произведению их отдельных вероятностей: P(A and B) = P(A) x P(B).
Предположение о независимости принципиально важно, и его нужно проверять по реальной ситуации, а не принимать по умолчанию. Извлечение двух карт из одной колоды без возвращения или два погодных события в один и тот же день зависимы — первый исход меняет вероятности для второго, — и тогда правило умножения занижает или завышает истинную совместную вероятность. Для зависимых событий требуются условные вероятности: P(A and B) = P(A) x P(B given A).
Как пользоваться калькулятором вероятности
- Введите вероятность события A в процентах, от 0 до 100, например 50 для выпадения орла на симметричной монете.
- Введите вероятность события B в процентах, например 30.
- Убедитесь, что события действительно независимы: наступление одного не должно менять шансы другого. Используемые здесь формулы верны только при этом условии.
- Прочитайте четыре итоговые вероятности: произойдут оба события, произойдёт хотя бы одно, A не произойдёт, не произойдёт ни одно.
Правила вероятности для независимых событий
Правило умножения (произойдут оба): для независимых событий P(A and B) = P(A) x P(B). Правило дополнения: P(not A) = 1 - P(A). Не произойдёт ни одно: P(neither) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)) — то же правило умножения, применённое к двум противоположным событиям. Произойдёт хотя бы одно (формула включений-исключений): P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B).
Разобранный пример при P(A) = 50 % и P(B) = 30 %, записанных как 0.5 и 0.3. Оба: 0.5 x 0.3 = 0.15 = 15 %. Хотя бы одно: 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65 = 65 %. Не A: 1 - 0.5 = 0.5 = 50 %. Ни одного: 0.5 x 0.7 = 0.35 = 35 %. Для проверки: «хотя бы одно» и «ни одного» — противоположные события, 65 % + 35 % = 100 %.
Вычитание P(A and B) в формуле для «хотя бы одного» исключает двойной счёт: исходы, в которых происходят оба события, иначе учитывались бы один раз в P(A) и ещё раз в P(B).
Частые ошибки
- Складывать вероятности для «A или B», не вычитая пересечение: одна лишь сумма P(A) + P(B) дважды учитывает исходы, где происходят оба события, и может даже превысить 100 %.
- Перемножать вероятности зависимых событий так, будто они независимы: классический контрпример — извлечение карт без возвращения.
- Ошибка игрока: считать, что в независимых испытаниях прошлые исходы меняют будущие вероятности; у симметричной монеты, пять раз подряд упавшей орлом, вероятность орла при следующем броске по-прежнему 50 %.
- Путать «произойдут оба» и «произойдёт хотя бы одно»: при P(A) = 50 % и P(B) = 30 % это 15 % и 65 % — совершенно разные величины.
Часто задаваемые вопросы
Что значит, что два события независимы?
Два события независимы, когда наступление одного не меняет вероятность другого — формально P(A and B) = P(A) x P(B). Отдельные подбрасывания монеты и не связанные между собой броски кубика независимы; извлечение двух карт из одной колоды без возвращения — нет, поскольку первое извлечение меняет состав колоды.
Как вычислить вероятность того, что произойдут оба события?
Для независимых событий перемножьте отдельные вероятности: P(A and B) = P(A) x P(B). Например, при P(A) = 50 % и P(B) = 30 % вероятность того, что произойдут оба, равна 0.5 x 0.3 = 0.15, то есть 15 %. Это правило произведения верно только для независимых событий.
Как вычислить вероятность того, что произойдёт хотя бы одно событие?
Воспользуйтесь формулой включений-исключений: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B). Для независимых событий с вероятностями 50 % и 30 % получаем 0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65, то есть 65 %. Эквивалентно можно вычислить единицу минус вероятность того, что не произойдёт ни одно: 1 - (0.5 x 0.7) = 0.65.
Почему нельзя просто сложить две вероятности для «A или B»?
Потому что исходы, в которых происходят оба события, были бы учтены дважды — один раз в P(A) и один раз в P(B). Сложение 50 % и 30 % даёт 80 %, но правильный ответ для независимых событий — 65 % после вычитания пересечения в 15 %. Простое сложение допустимо лишь для несовместных событий, которые по определению не могут произойти вместе.
Что делать, если мои события не являются независимыми?
Тогда эти формулы неприменимы. Для зависимых событий совместная вероятность выражается через условную: P(A and B) = P(A) x P(B given A), где P(B given A) — вероятность B при условии, что A уже произошло. Например, вероятность вытянуть два туза из стандартной колоды без возвращения равна (4/52) x (3/51), а не (4/52) x (4/52).
Источники
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.