Как понимать медиану, моду и размах
Каждый показатель описывает свою сторону данных. В таблице ниже показано, о чём говорит каждый из них.
| Показатель | Что описывает | Чувствительность к выбросам |
|---|---|---|
| Медиана | Середина упорядоченных данных; 50 % значений не превышают её | Низкая — зависит только от порядка значений |
| Мода | Наиболее частое значение (значения); пик (пики) распределения | Низкая — крайние значения на неё не влияют |
| Размах | Полный разброс от наименьшего значения до наибольшего | Высокая — определяется исключительно двумя крайними значениями |
- Если среднее заметно больше медианы, распределение обычно скошено вправо (длинный хвост больших значений, как у доходов); среднее ниже медианы указывает на левостороннюю скошенность.
- У набора данных может не быть моды (все значения различны), быть одна мода или несколько; калькулятор выводит все значения с одинаковой наибольшей частотой.
- Медиана выборки оценивает медиану генеральной совокупности; как и любая выборочная характеристика, она подвержена случайным колебаниям выборки.
Что такое медиана, мода и размах?
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Чтобы её найти, отсортируйте значения от меньшего к большему: при нечётном количестве медианой будет единственное центральное значение, при чётном — среднее арифметическое двух центральных значений. Поскольку медиана зависит только от порядка данных, а не от величины крайних наблюдений, она устойчива к выбросам.
Мода — это значение (или значения), встречающееся в данных чаще всего. У набора данных может быть одна мода, несколько мод (например, бимодальные данные с двумя пиками) или ни одной, если каждое значение встречается ровно один раз. Мода — единственная мера центральной тенденции, применимая и к категориальным данным.
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значением. Это простейшая мера разброса, но, поскольку она использует только два крайних наблюдения, она очень чувствительна к выбросам; стандартное отклонение или межквартильный размах описывают разброс надёжнее.
Как пользоваться калькулятором медианы
- Введите числа через точку с запятой, например: 7; 12; 3; 9; 21; 14. Калькулятор отсортирует их сам.
- Посмотрите медиану. При чётном количестве значений это среднее двух центральных значений отсортированного списка.
- Посмотрите моду — наиболее частое значение или значения. Если ни одно значение не повторяется, выводится прочерк: моды у данных нет.
- Посмотрите размах — максимум минус минимум: это быстрый показатель того, насколько разбросаны данные.
Как вычисляются медиана, мода и размах
Медиана: отсортируйте n значений. Если n нечётно, медиана — это значение на позиции (n + 1) / 2. Если n чётно, медиана равна среднему значений на позициях n/2 и n/2 + 1.
Разобранный пример: значения 7, 12, 3, 9, 21, 14. После сортировки: 3, 7, 9, 12, 14, 21. Значений n = 6 (чётное), поэтому медиана равна среднему 3-го и 4-го значений: (9 + 12) / 2 = 10,5. Ни одно значение не повторяется, значит, моды нет. Размах равен 21 - 3 = 18.
Второй пример, с модой: 2, 4, 4, 7, 9. В отсортированном списке центральное (3-е) значение равно 4, значит, медиана равна 4. Значение 4 встречается дважды, а все остальные — по одному разу, поэтому мода равна 4. Размах равен 9 - 2 = 7.
Типичные ошибки
- Поиск центрального значения без предварительной сортировки — медиана определена именно для упорядоченного списка.
- Выбор одного из двух центральных значений вместо их среднего при чётном количестве: для 3, 7, 9, 12, 14, 21 медиана равна 10,5, а не 9 или 12.
- Предположение, что мода есть у любого набора данных, — если ни одно значение не повторяется, моды не существует.
- Использование размаха как надёжной меры разброса: он зависит только от двух крайних значений и игнорирует всё, что между ними.
Часто задаваемые вопросы
Как найти медиану набора данных?
Отсортируйте значения от меньшего к большему. Если количество нечётное, медиана — центральное значение. Если чётное — среднее двух центральных значений. Например, для 7, 12, 3, 9, 21, 14 отсортированный список выглядит как 3, 7, 9, 12, 14, 21, а медиана равна (9 + 12) / 2 = 10,5.
Когда медиана лучше среднего?
Когда данные скошены или содержат выбросы. Медиана зависит только от порядка значений, поэтому одно экстремальное наблюдение почти не сдвигает её, тогда как среднее может измениться существенно. Именно поэтому доходы и цены на жильё обычно описывают медианой.
Может ли у набора данных быть несколько мод?
Да. Если два и более значений имеют одинаковую наибольшую частоту, набор данных мультимодален и все эти значения являются модами. Например, в наборе 1, 2, 2, 5, 7, 7, 9 значения 2 и 7 встречаются по два раза, поэтому данные бимодальны с модами 2 и 7. Если ни одно значение не повторяется, моды нет.
О чём говорит размах?
Размах — это максимум минус минимум, то есть полный охват данных. Он быстро считается и легко интерпретируется, но использует только два крайних значения, поэтому один выброс может резко его увеличить. Для более полной картины разброса используйте стандартное отклонение или межквартильный размах.
Всегда ли медиана совпадает с одним из наблюдений?
Не всегда. При нечётном количестве значений медиана — одно из наблюдаемых значений. При чётном она равна среднему двух центральных значений и может не встречаться в данных: например, медиана 10,5 для списка 3, 7, 9, 12, 14, 21 не совпадает ни с одним из шести наблюдений.
Источники
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.