Tipi di triangolo e disuguaglianza triangolare
Un triangolo si classifica in base ai lati e in base al suo angolo maggiore; la tabella seguente riassume entrambi i criteri.
| Criterio di classificazione | Tipo | Descrizione |
|---|---|---|
| Per lati | Equilatero | Tutti e tre i lati uguali; tutti gli angoli di 60° |
| Per lati | Isoscele | Esattamente due lati uguali |
| Per lati | Scaleno | Tutti e tre i lati di lunghezza diversa |
| Per angoli | Acutangolo | Tutti e tre gli angoli minori di 90° |
| Per angoli | Rettangolo | Un angolo esattamente di 90° |
| Per angoli | Ottusangolo | Un angolo maggiore di 90° |
- Il teorema della disuguaglianza triangolare richiede che la somma di due lati qualsiasi superi il terzo (a + b > c, a + c > b, b + c > a); tre lunghezze che non lo rispettano non formano alcun triangolo e in quel caso il calcolatore non restituisce risultati.
- Nella modalità « due lati + angolo compreso » l'angolo C inserito deve cadere strettamente fra 0° e 180°, poiché con 0° o 180° il triangolo degenererebbe in un segmento.
- I tre angoli interni di qualunque triangolo sommano sempre esattamente 180°, condizione che il calcolatore sfrutta come verifica quando ricava il terzo angolo.
Che cosa risolve questo calcolatore del triangolo?
Ogni triangolo è determinato per intero da tre misure indipendenti: nella maggior parte dei casi i tre lati (LLL), due lati con l'angolo che li separa (LAL) oppure, se il triangolo è rettangolo, i suoi due cateti perpendicolari. Da una qualsiasi di queste terne si ricavano, mediante le identità trigonometriche classiche, tutti gli altri lati, tutti gli angoli, l'area e il perimetro.
Il calcolatore gestisce tutte e tre le modalità di inserimento. Nella modalità « tre lati » verifica anzitutto la disuguaglianza triangolare — ogni lato deve essere minore della somma degli altri due — prima di procedere, poiché tre lunghezze che non superano questa prova non possono formare un triangolo.
Come si usa questo calcolatore del triangolo
- Scegli la modalità in base ai dati noti: tre lati, due lati con l'angolo compreso oppure i cateti di un triangolo rettangolo.
- Nella modalità « tre lati » inserisci il lato a, il lato b e il lato c.
- Nella modalità « due lati + angolo compreso » inserisci il lato a, il lato b e l'angolo C fra loro compreso, con valori strettamente compresi fra 0° e 180°.
- Nella modalità « triangolo rettangolo » inserisci i due cateti come lato a e lato b: l'ipotenusa viene ricavata automaticamente.
- Leggi l'area, il perimetro, l'eventuale lato mancante e tutti e tre gli angoli interni, che si aggiornano all'istante.
Le formule alla base della risoluzione del triangolo
La formula di Erone ricava l'area di un triangolo direttamente dai tre lati, senza che occorra conoscere alcun angolo. Il teorema del coseno, invece, consente sia di ricavare il lato mancante nella modalità LAL sia di risalire a tutti e tre gli angoli quando i tre lati sono noti.
Errori frequenti
- Inserire tre lunghezze che violano la disuguaglianza triangolare, come 2, 3 e 10, e che dunque non possono formare un triangolo valido.
- Nella modalità LAL, indicare un angolo che non è realmente compreso fra i due lati dati: il teorema del coseno richiede infatti proprio l'angolo compreso.
- Confondere i cateti con l'ipotenusa nella modalità « triangolo rettangolo »: i lati a e b devono essere i due cateti perpendicolari, mai l'ipotenusa.
- Mescolare gradi e radianti nella lettura degli angoli, che vengono sempre restituiti in gradi.
Domande frequenti
Come si calcola l'area di un triangolo conoscendo i tre lati?
Si applica la formula di Erone: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), dove s è il semiperimetro (a+b+c)/2. Per un triangolo di lati 13, 14 e 15 si ha s = 21, dunque A = √(21×8×7×6) = √7056 = 84 unità quadrate esatte.
Quali sono gli angoli di un triangolo di lati 13, 14 e 15?
Con a = 13, b = 14 e c = 15 il teorema del coseno restituisce l'angolo A ≈ 53,13°, l'angolo B ≈ 59,49° e l'angolo C ≈ 67,38°, la cui somma è 180° a meno degli arrotondamenti.
Come si risolve un triangolo noti due lati e l'angolo compreso?
Si ricava anzitutto il terzo lato con il teorema del coseno: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Si determinano poi i due angoli restanti applicando lo stesso teorema riscritto per gli angoli, oppure il teorema dei seni.
Che cos'è la disuguaglianza triangolare?
La disuguaglianza triangolare afferma che la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo deve superare la lunghezza del terzo lato. Se la condizione non vale anche per una sola coppia, le tre lunghezze non possono formare un triangolo.
Come si trova l'ipotenusa di un triangolo rettangolo?
L'ipotenusa è pari alla radice quadrata della somma dei quadrati dei due cateti: c = √(a² + b²). Un triangolo rettangolo con cateti 3 e 4 ha dunque un'ipotenusa di √(9+16) = √25 = 5.
Un triangolo può avere due angoli retti?
No. Poiché i tre angoli interni di un triangolo nel piano sommano sempre esattamente 180°, due angoli di 90° lascerebbero 0° al terzo, il che non corrisponde a un triangolo valido.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).