Cosa afferma il teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo -- un triangolo con esattamente un angolo di 90 gradi -- il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati, chiamati cateti. Scritto come formula: a^2 + b^2 = c^2, dove a e b sono i due cateti e c è l'ipotenusa. La relazione prende il nome dall'antico matematico greco Pitagora, sebbene le prove mostrino che la stessa relazione numerica fosse conosciuta e usata, indipendentemente da qualsiasi dimostrazione formale, dai matematici babilonesi e da altri matematici antichi ben prima di Pitagora.
Il teorema si applica solo ai triangoli rettangoli su un piano piatto (euclideo). Non vale per i triangoli privi di un angolo retto -- questi richiedono invece il più generale teorema del coseno -- e non vale esattamente per i triangoli disegnati su una superficie curva, come una sfera, dove la geometria stessa è diversa.
Perché funziona: una classica dimostrazione per riarrangiamento
Una delle dimostrazioni più note del teorema, spesso chiamata dimostrazione per riarrangiamento, usa quattro copie identiche dello stesso triangolo rettangolo (con cateti a e b e ipotenusa c) disposte all'interno di un unico grande quadrato con lati di lunghezza (a + b). Disposti in un modo, i quattro triangoli circondano un quadrato interno più piccolo e inclinato con lati di lunghezza c, quindi l'area del quadrato grande si suddivide nei quattro triangoli più quel quadrato interno: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, che si semplifica in (a + b)^2 = 2ab + c^2.
Espandendo algebricamente il lato sinistro, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Uguagliando le due espressioni per la stessa area totale: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Sottraendo 2ab da entrambi i lati rimane a^2 + b^2 = c^2 -- il teorema di Pitagora, derivato puramente dal confronto di due modi di calcolare l'area dello stesso quadrato. Questa particolare dimostrazione è una delle centinaia pubblicate nel corso dei secoli; il compendio di Elisha Loomis The Pythagorean Proposition ne cataloga 367 distinte.
Terne pitagoriche: 3-4-5 e oltre
Una terna pitagorica è un insieme di tre numeri interi positivi a, b e c che soddisfano esattamente a^2 + b^2 = c^2, il che significa che esiste un triangolo rettangolo con quelle tre lunghezze intere senza bisogno di arrotondamenti. La terna più piccola e più conosciuta è 3-4-5, poiché 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Qualsiasi multiplo intero di una terna nota è anch'esso una terna valida -- per esempio, raddoppiando 3-4-5 si ottiene 6-8-10, e triplicandola si ottiene 9-12-15, entrambe soddisfano anch'esse a^2 + b^2 = c^2. Le terne che non sono multipli di una terna più piccola, come 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17 qui sotto, sono chiamate terne pitagoriche primitive.
| Cateto a | Cateto b | Ipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Usi reali: diagonali e distanze
Poiché la diagonale di un rettangolo, insieme a due lati adiacenti, forma un triangolo rettangolo, il teorema di Pitagora fornisce direttamente la lunghezza della diagonale: diagonale = la radice quadrata di (lunghezza^2 + larghezza^2). Un rettangolo di 6 per 8 unità ha una diagonale di la radice quadrata di (6^2 + 8^2) = la radice quadrata di (36 + 64) = la radice quadrata di 100 = esattamente 10 unità -- la terna 6-8-10, un multiplo di 3-4-5.
Lo stesso principio esteso a tre dimensioni fornisce la diagonale spaziale di una scatola rettangolare, trovata applicando il teorema due volte: prima per trovare la diagonale del rettangolo di base, poi combinando quella diagonale con l'altezza della scatola. Una scatola di 12 per 9 per 8 unità ha una diagonale spaziale di la radice quadrata di (12^2 + 9^2 + 8^2) = la radice quadrata di (144 + 81 + 64) = la radice quadrata di 289 = esattamente 17 unità. La formula della distanza tra coordinate, usata per trovare la distanza in linea retta tra due punti, d = la radice quadrata di ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2), è lo stesso teorema applicato direttamente alle differenze orizzontale e verticale tra due punti: per i punti (1,2) e (4,6), la distanza è la radice quadrata di (3^2 + 4^2) = la radice quadrata di 25 = 5.
Il reciproco: usare 3-4-5 per verificare un angolo retto
Il reciproco del teorema di Pitagora è anch'esso vero ed è frequentemente usato nella pratica: se tre lunghezze misurate soddisfano a^2 + b^2 = c^2, allora il triangolo che formano deve contenere un angolo retto opposto al lato più lungo, anche se quell'angolo non è mai stato misurato direttamente. Questo reciproco è alla base del tradizionale metodo 3-4-5 usato in edilizia e falegnameria per verificare o impostare un angolo retto (90 gradi): misurare 3 unità lungo un bordo, 4 unità lungo il bordo perpendicolare, e confermare che la diagonale tra quei due punti segnati sia esattamente 5 unità conferma che l'angolo è un vero angolo retto.
Questo funziona perché il reciproco garantisce un risultato unico: tre lunghezze positive che soddisfano a^2 + b^2 = c^2 possono formare solo un triangolo rettangolo, mai uno acuto o ottuso, con l'angolo retto posizionato di fronte al lato più lungo, c. Qualsiasi multiplo della terna 3-4-5 -- come 6-8-10 o 9-12-15 -- funziona in modo identico per verificare angoli più grandi.
Domande frequenti
Qual è la formula del teorema di Pitagora?
a^2 + b^2 = c^2, dove a e b sono i due cateti di un triangolo rettangolo e c è l'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto. Si applica solo ai triangoli rettangoli su un piano piatto.
Come si dimostra il teorema di Pitagora?
Un metodo classico, la dimostrazione per riarrangiamento, dispone quattro triangoli rettangoli identici all'interno di un quadrato con lati (a + b) in modo che l'area totale possa essere calcolata in due modi diversi -- una volta come (a + b)^2, e una volta come i quattro triangoli più un quadrato interno inclinato di area c^2. Uguagliando queste due espressioni dell'area e semplificando algebricamente si ottiene a^2 + b^2 = c^2. Sono state pubblicate anche centinaia di dimostrazioni alternative, incluso il compendio di Elisha Loomis che ne documenta 367.
Cos'è una terna pitagorica, e qual è la più piccola?
Una terna pitagorica è un insieme di tre numeri interi positivi a, b e c che soddisfano esattamente a^2 + b^2 = c^2. La terna più piccola e più comune è 3-4-5, poiché 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Altre terne comuni includono 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 e 9-40-41.
Come si usa il teorema di Pitagora per trovare la diagonale di un rettangolo?
La diagonale di un rettangolo forma l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con la lunghezza e la larghezza del rettangolo come cateti, quindi diagonale = la radice quadrata di (lunghezza^2 + larghezza^2). Un rettangolo di 6 per 8 ha una diagonale di la radice quadrata di (36 + 64) = la radice quadrata di 100 = esattamente 10 unità.
Il teorema di Pitagora funziona su superfici curve?
No. Il teorema vale esattamente solo per i triangoli rettangoli disegnati su un piano piatto (euclideo). Su una superficie curva, come la superficie di una sfera, le relazioni tra angoli e lunghezze dei lati sono governate da una geometria diversa, non euclidea, e a^2 + b^2 = c^2 non vale più esattamente per un triangolo con un angolo di 90 gradi.
Come usano i costruttori la regola del 3-4-5 per verificare un angolo retto?
Per il reciproco del teorema di Pitagora, se tre lunghezze misurate soddisfano a^2 + b^2 = c^2, l'angolo opposto alla lunghezza maggiore deve essere esattamente di 90 gradi. Segnare 3 unità lungo un bordo e 4 unità lungo un bordo perpendicolare, poi confermare che la distanza tra quei due punti sia esattamente 5 unità, verifica un vero angolo retto -- un metodo comunemente usato in edilizia e falegnameria.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).