Due teoremi, due diversi insiemi di valori noti
Ogni triangolo che non è un triangolo rettangolo -- chiamato triangolo obliquo -- può essere risolto completamente a partire da tre misure note, ma quale formula si applica dipende esattamente da quali tre misure sono note. Il teorema dei seni e il teorema del coseno sono i due strumenti generali per questo scopo, e ciascuno è adatto a una diversa combinazione di dati noti.
| Valori noti | Metodo | Note |
|---|---|---|
| Due angoli + un lato qualsiasi (AAL o ALA) | Teorema dei seni | Sempre esattamente una soluzione |
| Due lati + angolo compreso (LAL) | Teorema del coseno | Sempre esattamente una soluzione |
| Tre lati (LLL) | Teorema del coseno | Sempre esattamente una soluzione (se vale la disuguaglianza triangolare) |
| Due lati + angolo non compreso (LLA) | Teorema dei seni, con attenzione | Possibili zero, una o due soluzioni -- il caso ambiguo |
Il teorema dei seni: due angoli e un lato (AAL/ALA)
Il teorema dei seni afferma che in ogni triangolo, il rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo direttamente opposto ad esso è lo stesso per tutti e tre i lati: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Conoscendo due angoli e un qualsiasi lato, il terzo angolo segue immediatamente dal fatto che gli angoli di un triangolo sommano a 180 gradi, e i due lati mancanti seguono direttamente dal rapporto.
Esempio svolto: angolo A = 40 gradi, lato a = 15 (opposto all'angolo A), e angolo B = 60 gradi. Passo 1: angolo C = 180 - 40 - 60 = 80 gradi. Passo 2: lato b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 gradi) / sin 40 gradi = (15 x 0,8660) / 0,6428, circa 20,2094. Passo 3: lato c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 gradi) / sin 40 gradi, circa 22,9813. L'area del triangolo, usando 1/2 x a x b x sin C, è circa 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 gradi), circa 149,2681 unità quadrate.
Il teorema del coseno: due lati e l'angolo compreso (LAL), o tre lati (LLL)
Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora ai triangoli senza angolo retto: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), dove C è l'angolo compreso tra i lati a e b. Quando C è esattamente 90 gradi, cos(C) = 0 e la formula si riduce esattamente al teorema di Pitagora, a^2 + b^2 = c^2.
Esempio svolto: lati a = 8 e b = 11, con un angolo compreso di C = 37 gradi. Passo 1: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 gradi) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, circa 185 - 140,55 = 44,45, quindi c è circa 6,6663. Passo 2: una volta noti tutti e tre i lati, gli angoli rimanenti seguono dalla formula riarrangiata, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), dando angolo A circa 46,2375 gradi e angolo B circa 96,7625 gradi (che sommati a C = 37 gradi danno 180 gradi, come richiesto). L'area, 1/2 x a x b x sin(C), è circa 1/2 x 8 x 11 x sin(37 gradi), circa 26,4799 unità quadrate.
Il caso ambiguo LLA, spiegato onestamente
Quando si conoscono due lati e un angolo non compreso (LLA) -- per esempio, lato a, lato b e angolo A, dove A non è l'angolo tra a e b -- il teorema dei seni può comunque essere applicato, ma il numero di triangoli validi che soddisfano le misure date non è sempre uno. A seconda dei valori specifici, potrebbero esserci zero triangoli (l'angolo e i lati dati non possono formare un triangolo chiuso), esattamente un triangolo, o esattamente due triangoli distinti, entrambi validi.
Il fattore decisivo è l'altezza h = b x sin(A), confrontata con il lato a. Se a è minore di h, non esiste alcun triangolo. Se a è uguale a h, esiste esattamente un triangolo, con un angolo retto nel vertice opposto al lato a. Se h è minore di a e a è minore di b, esistono due triangoli distinti. Se a è maggiore o uguale a b, esiste esattamente un triangolo.
Esempio svolto del caso ambiguo: lato a = 20, lato b = 25, angolo A = 40 gradi. Qui h = 25 x sin(40 gradi), circa 16,0697, e poiché 16,0697 è minore di 20 e 20 è minore di 25, due triangoli distinti soddisfano queste misure. Risolvendo entrambi: il primo ha angolo B circa 53,4641 gradi, angolo C circa 86,5359 gradi e lato c circa 31,0576; il secondo ha angolo B circa 126,5359 gradi, angolo C circa 13,4641 gradi e lato c circa 7,2446. Entrambi i triangoli usano gli stessi identici valori di partenza a = 20, b = 25 e A = 40 gradi, eppure descrivono due forme genuinamente diverse -- il che è precisamente il motivo per cui il caso LLA è detto ambiguo, e perché richiede questo controllo extra che AAL, ALA e LAL non richiedono.
Scegliere la formula giusta nella pratica
In campi come il rilevamento topografico, la navigazione e l'ingegneria, l'indicazione pratica è identificare quali tre misure sono effettivamente disponibili prima di scegliere una formula, anziché ricorrere per abitudine a un teorema di default. Se si misurano due angoli (comune quando si triangola da due punti di osservazione fissi), il teorema dei seni si applica direttamente e senza ambiguità. Se si misurano due distanze e l'angolo tra esse (comune quando due lati sono tracciati da un singolo vertice), il teorema del coseno si applica direttamente e senza ambiguità.
Il caso LLA si presenta più spesso di quanto sembri -- per esempio, misurando un lato noto, un secondo lato e un angolo che non è fisicamente tra di essi -- e poiché può silenziosamente produrre due risposte valide, vale la pena controllare esplicitamente il confronto tra a e h descritto sopra ogni volta che LLA è l'unica combinazione disponibile, invece di presumere che il primo triangolo calcolato sia l'unico che corrisponde ai dati.
Domande frequenti
Quando dovrei usare il teorema dei seni invece del teorema del coseno?
Usa il teorema dei seni quando si conoscono due angoli e un qualsiasi lato (AAL o ALA), il che ha sempre esattamente una soluzione, oppure quando si conoscono due lati e un angolo non compreso (LLA), il che richiede di verificare il caso ambiguo. Usa il teorema del coseno quando si conoscono invece due lati e l'angolo compreso (LAL) o tutti e tre i lati (LLL).
Cos'è il caso ambiguo LLA?
LLA significa che si conoscono due lati e un angolo non compreso. A seconda dei valori specifici, questa combinazione può produrre zero, uno o due triangoli validi, a differenza di AAL, ALA o LAL, che producono sempre esattamente uno. Per esempio, con a = 20, b = 25 e angolo A = 40 gradi, due triangoli distinti soddisfano entrambi le misure date -- uno con angolo B circa 53,4641 gradi, l'altro con angolo B circa 126,5359 gradi.
Come si trova un lato mancante usando il teorema del coseno?
Si applica c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), dove C è l'angolo compreso tra i lati a e b, poi si estrae la radice quadrata. Per a = 8, b = 11 e C = 37 gradi, c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 gradi), circa 44,45, quindi c è circa 6,6663.
Come si trova un lato mancante usando il teorema dei seni?
Si imposta il rapporto a / sin(A) = b / sin(B) e si risolve per il lato incognito. Per angolo A = 40 gradi, lato a = 15 e angolo B = 60 gradi, lato b = (15 x sin 60 gradi) / sin 40 gradi, circa 20,2094.
Il teorema del coseno può risolvere un triangolo a partire dai soli tre lati (LLL)?
Sì. Conoscendo tutti e tre i lati, il teorema del coseno viene riarrangiato per risolvere ciascun angolo: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). Il teorema dei seni non può essere usato per iniziare un problema LLL, perché richiede almeno un angolo noto per impostare il suo rapporto, cosa che LLL non fornisce direttamente.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).