Arco, corda e settore agli angoli più comuni
La tabella seguente mostra come si confrontano lunghezza dell'arco e lunghezza della corda in un cerchio di raggio 10, per alcuni angoli al centro ricorrenti.
| Angolo al centro | Lunghezza dell'arco (r=10) | Lunghezza della corda (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (intera circonferenza) | 0 (inizio e fine coincidono) |
- A 360° la lunghezza dell'arco coincide con l'intera circonferenza (2πr), mentre la corda è nulla poiché il punto iniziale e quello finale coincidono.
- A parità di angolo la lunghezza dell'arco è sempre maggiore o uguale a quella della corda, poiché la retta è il percorso più breve fra due punti mentre l'arco li congiunge curvando.
- L'area del segmento ha senso soltanto per angoli strettamente compresi fra 0° e 360°; a 0° esatti tanto l'area del settore quanto quella del segmento sono nulle.
Che cosa sono lunghezza dell'arco, corda e area del settore?
Un arco è una porzione curva della circonferenza, delimitata da due raggi e dall'angolo al centro che li separa; la lunghezza dell'arco è la distanza misurata lungo quella curva. La corda, invece, è il segmento rettilineo che congiunge i due estremi dell'arco e risulta sempre più corta dell'arco stesso, tranne quando l'angolo diventa infinitesimo.
Il settore è la regione a forma di spicchio racchiusa fra l'arco e i due raggi, mentre il segmento è la regione più piccola compresa fra l'arco e la corda, ossia lo spicchio meno il triangolo formato dai due raggi e dalla corda. Tutte e quattro le grandezze si ricavano direttamente dal raggio e dall'angolo al centro.
Come si usa questo calcolatore della lunghezza dell'arco
- Inserisci il raggio del cerchio.
- Indica l'angolo al centro in gradi, con un valore compreso fra 0° e 360°.
- Leggi la lunghezza dell'arco, la lunghezza della corda, l'area del settore e l'area del segmento, che si aggiornano all'istante.
Le formule di lunghezza dell'arco e area del settore
Tutte le formule richiedono l'angolo al centro espresso in radianti (θ = angolo in gradi × π / 180); il calcolatore esegue automaticamente questa conversione a partire dal valore in gradi che hai inserito.
Errori frequenti
- Indicare l'angolo in radianti mentre il calcolatore attende i gradi.
- Confondere la lunghezza dell'arco, che è una distanza curvilinea, con quella della corda, che è rettilinea: coincidono soltanto al limite, quando l'angolo tende a zero.
- Scambiare l'area del settore, delimitata dai due raggi e dall'arco, con quella del segmento, delimitata dalla corda e dall'arco: il segmento è sempre il più piccolo dei due.
- Usare un angolo maggiore di 360°, che non corrisponde a un singolo settore ben definito di un solo cerchio.
Domande frequenti
Come si calcola la lunghezza di un arco?
La lunghezza dell'arco è pari al raggio moltiplicato per l'angolo al centro in radianti: s = rθ. Con raggio 10 e angolo di 60° (θ = π/3 radianti) si ottiene 10 × π/3 ≈ 10,4720 unità.
Che differenza c'è fra lunghezza dell'arco e lunghezza della corda?
La lunghezza dell'arco è la distanza misurata lungo il bordo curvo del cerchio fra due punti, mentre la corda è la distanza rettilinea fra gli stessi due punti. Con raggio 10 e angolo di 60° l'arco misura circa 10,4720 e la corda esattamente 10, poiché corda = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10.
Come si calcola l'area di un settore circolare?
L'area del settore è pari a metà del quadrato del raggio moltiplicata per l'angolo al centro in radianti: A = ½r²θ. Con raggio 10 e angolo di 60° si ottiene ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 unità quadrate.
Che cos'è un segmento circolare?
Il segmento è la regione compresa fra una corda e l'arco che essa sottende, ossia l'area del settore meno quella del triangolo formato dai due raggi e dalla corda. Con raggio 10 e angolo di 60° l'area del segmento vale ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 unità quadrate.
Come si convertono i gradi in radianti per queste formule?
Basta moltiplicare l'angolo in gradi per π/180. Per esempio 60° × π/180 = π/3 radianti ≈ 1,0472 radianti.
Qual è la lunghezza dell'arco di un cerchio intero?
Con un angolo al centro di 360°, cioè 2π radianti, la lunghezza dell'arco coincide con l'intera circonferenza, pari a 2πr. Con raggio 10 si ottiene dunque 2π × 10 ≈ 62,8319 unità.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).