Teorema del coseno e teorema di Pitagora a confronto
La tabella seguente mostra come si comporta il teorema del coseno al variare dell'angolo compreso, con il teorema di Pitagora come caso particolare a 90°.
| Angolo C | cos C | Effetto su c² |
|---|---|---|
| 90° (angolo retto) | 0 | c² = a² + b² (esattamente il teorema di Pitagora) |
| < 90° (acuto) | positivo | c² < a² + b² (c è più corto che nel caso retto) |
| > 90° (ottuso) | negativo | c² > a² + b² (c è più lungo che nel caso retto) |
- Il teorema del coseno vale per qualunque triangolo e non soltanto per quelli rettangoli: è il caso generale, di cui il teorema di Pitagora costituisce il caso particolare a 90°.
- L'angolo C deve cadere strettamente fra 0° e 180°: a entrambi gli estremi i tre punti diventerebbero allineati e nessun triangolo esisterebbe.
Che cos'è il teorema del coseno?
Il teorema del coseno lega i tre lati di un triangolo al coseno di uno dei suoi angoli: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Generalizza il teorema di Pitagora, poiché quando l'angolo C misura esattamente 90° si ha cos C = 0 e la formula si riduce a c² = a² + b², ossia proprio alla nota relazione pitagorica.
Noti due lati e l'angolo fra essi compreso — il caso LAL impiegato qui — il teorema del coseno fornisce direttamente il terzo lato; la stessa formula, opportunamente riscritta, permette poi di risalire ai due angoli restanti.
Come si usa questo calcolatore del teorema del coseno
- Inserisci il lato a e il lato b, ossia i due lati noti.
- Inserisci l'angolo C compreso fra i lati a e b, con un valore strettamente compreso fra 0° e 180°.
- Leggi il lato c, cioè quello mancante, gli angoli A e B e infine l'area del triangolo.
La formula del teorema del coseno
La stessa relazione di base si riscrive in modo diverso per ricavare un lato oppure, una volta noti tutti e tre i lati, un angolo.
Errori frequenti
- Inserire un angolo che non è realmente compreso fra i lati a e b: nel caso LAL il teorema del coseno richiede proprio l'angolo compreso.
- Dimenticare il segno meno in c² = a² + b² − 2ab·cos C, facile da perdere quando l'angolo è acuto e cos C risulta positivo.
- Usare il teorema del coseno per trovare un lato mancante quando si conoscono solo due angoli e un lato: quel caso richiede invece il teorema dei seni.
- Inserire l'angolo C in radianti anziché in gradi, come il calcolatore si attende.
Domande frequenti
Qual è la formula del teorema del coseno?
La formula è c² = a² + b² − 2ab·cos C, dove C è l'angolo compreso fra i lati a e b, mentre c è il lato opposto all'angolo C.
Come si ricava un lato mancante con il teorema del coseno?
Si applica la formula e se ne estrae poi la radice quadrata: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Con a = 5, b = 7 e C = 49° si ottiene c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Come si ricava un angolo con il teorema del coseno?
Si riscrive la formula rispetto al coseno e si applica poi la funzione inversa: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Con a = 5, b = 7 e c ≈ 5,2987 l'angolo A vale circa 45,4117°.
Che legame c'è fra il teorema del coseno e quello di Pitagora?
Quando l'angolo compreso C misura esattamente 90° si ha cos C = 0, dunque il teorema del coseno c² = a² + b² − 2ab·cos C si riduce esattamente al teorema di Pitagora, ossia c² = a² + b².
Quando si usa il teorema del coseno al posto del teorema dei seni?
Il teorema del coseno serve quando conosci i tre lati (LLL) oppure due lati e l'angolo compreso (LAL), casi che il teorema dei seni non risolve direttamente. Il teorema dei seni si usa invece quando conosci due angoli e un lato, oppure due lati e un angolo non compreso.
Qual è l'area di un triangolo con lati 5 e 7 e angolo compreso di 49°?
L'area vale ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 unità quadrate.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).