Formule di volume e superficie solido per solido
La tabella seguente riassume la formula del volume e quella della superficie impiegate per ciascun solido.
| Solido | Formula del volume | Formula della superficie |
|---|---|---|
| Sfera | V = (4/3)πr³ | S = 4πr² |
| Cubo | V = s³ | S = 6s² |
| Parallelepipedo rettangolo | V = lwh | S = 2(lw + lh + wh) |
| Cilindro | V = πr²h | S = 2πr² + 2πrh |
| Cono | V = (1/3)πr²h | S = πr² + πr·apotema |
| Piramide a base quadrata | V = (1/3)l²h | S = l² + 2l·apotema |
| Semisfera | V = (2/3)πr³ | S = 3πr² |
| Tronco di cono | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | S = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·apotema |
- Per cono, piramide e tronco di cono la formula della superficie usa l'apotema, cioè l'altezza obliqua, ricavata internamente da raggio o spigolo e altezza tramite il teorema di Pitagora: non coincide dunque con l'altezza verticale inserita.
- Per « superficie » si intende qui la superficie totale, base o basi comprese, e non la sola superficie laterale: per quella scomposizione conviene usare il calcolatore dedicato alla superficie.
- Tutte le formule presuppongono solidi retti e non obliqui, ossia con il vertice o la faccia superiore esattamente sopra il centro della base.
Che cos'è il volume?
Il volume è la porzione di spazio tridimensionale racchiusa da un solido e si misura in unità cube, per esempio metri cubi o piedi cubi. Ogni solido regolare possiede una formula in forma chiusa che lega il volume alle sue dimensioni caratteristiche, come il raggio di una sfera oppure lunghezza, larghezza e altezza di un parallelepipedo.
La superficie, mostrata qui accanto al volume per ogni solido, è invece l'area complessiva di tutte le facce esterne e delle superfici curve. Si esprime in unità quadrate e si ricava con una formula distinta da quella del volume: le due grandezze descrivono proprietà fisiche diverse e non sono interscambiabili.
Come si usa questo calcolatore di volume
- Scegli dal menu a tendina il solido che vuoi misurare.
- Inserisci le dimensioni richieste: per esempio il raggio nel caso della sfera, oppure lunghezza, larghezza e altezza per un parallelepipedo.
- Per il tronco di cono indica il raggio inferiore, il raggio superiore (radius2) e l'altezza perpendicolare fra le due facce circolari.
- Per la piramide a base quadrata inserisci come « lunghezza » lo spigolo di base e poi l'altezza perpendicolare dalla base al vertice.
- Leggi il volume e la superficie: si aggiornano all'istante quando modifichi le dimensioni.
La formula del volume di ciascun solido
La formula del volume di ogni solido deriva dal calcolo integrale, ossia dall'integrazione dell'area delle sezioni lungo l'altezza o il raggio, ma per queste figure standard si riduce a una semplice espressione in forma chiusa.
Errori frequenti
- Inserire il diametro anziché il raggio: per sfera e semisfera il volume risulta 8 volte maggiore, per cilindro e cono 4 volte, perché il loro volume dipende da r² e non da r³.
- Confondere lo spigolo del cubo con le tre dimensioni indipendenti di un parallelepipedo, ossia lunghezza, larghezza e altezza.
- Nel tronco di cono, inserire un raggio superiore (radius2) maggiore di quello inferiore senza tenere presente quale faccia sia quale: la formula è simmetrica, ma l'etichettatura determina l'orientamento.
- Mescolare unità di misura diverse, per esempio l'altezza in piedi e il raggio in pollici, ottenendo così un risultato errato.
- Supporre che volume e superficie crescano allo stesso modo: raddoppiando il raggio di una sfera il volume si moltiplica per 8, mentre la superficie soltanto per 4.
Domande frequenti
Come si calcola il volume di una sfera?
Il volume di una sfera è pari a (4/3) × π × raggio³. Una sfera di raggio 3 ha dunque un volume di (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 unità cube.
Qual è il volume di un cilindro?
Il volume di un cilindro è pari a π × raggio² × altezza. Un cilindro di raggio 3 e altezza 5 ha quindi un volume di π × 9 × 5 ≈ 141,3717 unità cube.
Come si calcola il volume di un cono?
Il volume di un cono corrisponde a un terzo di π × raggio² × altezza. Un cono di raggio 3 e altezza 5 ha pertanto un volume di (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 unità cube, esattamente un terzo del volume di un cilindro con lo stesso raggio e la stessa altezza.
Qual è il volume di un parallelepipedo rettangolo?
Il volume di un parallelepipedo è pari a lunghezza × larghezza × altezza. Un parallelepipedo che misura 4 × 3 × 5 ha dunque un volume di 4 × 3 × 5 = 60 unità cube.
Come si calcola il volume di un tronco di cono?
Il volume di un tronco di cono vale (1/3) × π × altezza × (r₁² + r₁r₂ + r₂²), dove r₁ e r₂ sono i raggi delle due facce circolari. Un tronco con raggio inferiore 3, raggio superiore 2 e altezza 5 ha quindi un volume di (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 unità cube.
Perché il calcolatore mostra anche la superficie?
Volume e superficie sono entrambi descrittori standard di un solido e servono spesso insieme — il volume per la capacità, la superficie per il fabbisogno di materiale o di rivestimento — pertanto vengono ricavati entrambi dalle stesse dimensioni inserite.
Che differenza c'è fra la formula della sfera e quella della semisfera?
Quanto al volume una semisfera è esattamente metà di una sfera: V = (2/3)πr³ contro (4/3)πr³. La sua superficie non è invece la metà di quella della sfera, poiché comprende anche la base circolare piatta: S = 3πr² (2πr² di superficie curva più πr² di base), a fronte di 4πr² per la sfera intera.
Fonti
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).