Leggere il risultato della formula della distanza
La tabella seguente mostra il legame fra la formula della distanza e i cateti del triangolo rettangolo formato dai due punti.
| Grandezza | Significato |
|---|---|
| x₂ − x₁ | Cateto orizzontale del triangolo rettangolo (spostamento) |
| y₂ − y₁ | Cateto verticale del triangolo rettangolo (dislivello) |
| d | Ipotenusa, ossia la distanza in linea retta fra i punti |
- Quando i due punti condividono la stessa coordinata x, cioè quando la retta è verticale, la pendenza non è definita perché il denominatore (x₂ − x₁) vale zero: in quel caso il calcolatore segnala « non definita » anziché un valore numerico.
- La formula della distanza restituisce lo stesso risultato a prescindere da quale punto venga etichettato come 1 e quale come 2, poiché entrambe le differenze vengono elevate al quadrato prima di essere sommate.
Che cos'è la formula della distanza?
La formula della distanza calcola la distanza in linea retta fra due punti, (x₁, y₁) e (x₂, y₂), su un piano cartesiano. Deriva direttamente dal teorema di Pitagora: le differenze orizzontale e verticale fra i due punti costituiscono i cateti di un triangolo rettangolo, mentre la distanza fra i punti ne è l'ipotenusa.
Oltre alla distanza, questo calcolatore restituisce il punto medio, cioè il punto esattamente a metà strada fra i due punti dati, e la pendenza della retta che li attraversa, la quale ne descrive l'inclinazione e la direzione.
Come si usa questo calcolatore della formula della distanza
- Inserisci le coordinate del primo punto, x₁ e y₁.
- Inserisci le coordinate del secondo punto, x₂ e y₂.
- Leggi la distanza fra i due punti, il loro punto medio e infine la pendenza e l'intercetta y della retta che li congiunge.
La formula della distanza
La formula della distanza è il teorema di Pitagora applicato alle differenze orizzontale e verticale fra due punti.
Errori frequenti
- Sottrarre le coordinate nell'ordine sbagliato temendo un errore: poiché le differenze vengono comunque elevate al quadrato, gli errori di segno non alterano affatto la distanza ottenuta.
- Dimenticare di estrarre la radice quadrata alla fine: l'espressione sotto radice fornisce infatti il quadrato della distanza, non la distanza.
- Dare per scontato che la pendenza sia sempre definita: una retta verticale, con coordinate x uguali, ha pendenza non definita e non pendenza zero.
- Confondere la formula del punto medio, che è una media delle coordinate, con quella della distanza, che è una somma pitagorica di differenze.
Domande frequenti
Qual è la formula della distanza?
La formula della distanza è d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) e deriva dal teorema di Pitagora. Per i punti (0; 0) e (3; 4) la distanza vale dunque √(3² + 4²) = √25 = 5.
Come si trova il punto medio fra due punti?
Si calcola separatamente la media delle coordinate x e quella delle coordinate y: punto medio = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Per i punti (0; 0) e (3; 4) il punto medio ha dunque coordinate x = 1,5 e y = 2.
Che legame c'è fra la formula della distanza e il teorema di Pitagora?
La differenza orizzontale (x₂−x₁) e quella verticale (y₂−y₁) fra due punti formano i due cateti di un triangolo rettangolo, mentre la distanza in linea retta fra i punti ne è l'ipotenusa: dunque d = √(cateto₁² + cateto₂²), ossia esattamente il teorema di Pitagora.
Che cosa significa che la pendenza non è definita?
La pendenza non è definita quando i due punti condividono la stessa coordinata x, il che significa che la retta che li congiunge è perfettamente verticale. Poiché la divisione per zero (x₂ − x₁ = 0) non ha alcun valore definito, la pendenza non può essere espressa da un numero.
La distanza fra due punti può essere negativa?
No. La distanza è sempre nulla o positiva, poiché nasce dalla radice quadrata di una somma di quadrati, che non è mai negativa. Una distanza pari a zero indica semplicemente che i due punti coincidono.
Come si ricava l'equazione della retta passante per due punti?
Si calcola anzitutto la pendenza, m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), e poi l'intercetta y mediante b = y₁ − m×x₁. Per i punti (0; 0) e (3; 4) si ottiene m = 4/3 e b = 0 − (4/3)(0) = 0, da cui la retta y = (4/3)x.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Distance" and "Midpoint." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).