Come si legge un valore di pendenza
La tabella seguente riassume che cosa indicano i diversi valori di pendenza riguardo all'andamento della retta.
| Valore della pendenza | Andamento della retta |
|---|---|
| Positiva (m > 0) | Sale da sinistra verso destra |
| Negativa (m < 0) | Scende da sinistra verso destra |
| Nulla (m = 0) | Retta perfettamente orizzontale |
| Non definita | Retta perfettamente verticale (x₁ = x₂) |
- Una retta verticale ha pendenza non definita, poiché la variazione orizzontale (x₂ − x₁) è nulla e il rapporto perde significato; il calcolatore riporta allora direttamente l'equazione nella forma x = costante.
- Due punti coincidenti (x₁ = x₂ e y₁ = y₂) non individuano un'unica retta, pertanto in quel caso non è possibile calcolare alcuna pendenza.
- Più una retta è ripida, maggiore è il valore assoluto della sua pendenza; una pendenza di modulo 1 forma un angolo di 45° con l'orizzontale: il calcolatore riporta +45° per una pendenza di 1 e −45° per una di −1.
Che cos'è la pendenza?
La pendenza descrive con quanta ripidità una retta sale o scende ed è definita come il rapporto fra la variazione verticale, il dislivello, e quella orizzontale fra due punti della retta: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Una pendenza positiva indica che la retta sale da sinistra a destra, una negativa che scende, mentre una pendenza nulla corrisponde a una retta perfettamente orizzontale.
Questo calcolatore converte inoltre la pendenza in un angolo di inclinazione, ossia l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x, ricavato con la funzione arcotangente, e scrive infine l'equazione della retta in forma esplicita, y = mx + b.
Come si usa questo calcolatore di pendenza
- Inserisci le coordinate del primo punto, x₁ e y₁.
- Inserisci le coordinate del secondo punto, x₂ e y₂.
- Leggi la pendenza, l'angolo di inclinazione in gradi e l'equazione della retta in forma esplicita.
La formula della pendenza
Si calcola anzitutto la pendenza; l'angolo di inclinazione e l'equazione vengono poi entrambi ricavati da essa.
Errori frequenti
- Invertire l'ordine della sottrazione soltanto al numeratore o soltanto al denominatore, usando per esempio y₁ − y₂ su x₂ − x₁, il che ribalta il segno della pendenza.
- Ritenere che una pendenza nulla e una pendenza non definita siano la stessa cosa: zero significa orizzontale, non definita significa verticale.
- Confondere la pendenza con l'angolo di inclinazione: una pendenza pari a 1 corrisponde a un angolo di 45°, non a una pendenza di 45.
- Dimenticare che la pendenza è un rapporto e non una distanza: di per sé non ha alcuna unità di lunghezza.
Domande frequenti
Come si calcola la pendenza fra due punti?
La pendenza è pari alla variazione di y divisa per la variazione di x: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Per i punti (1; 2) e (4; 8) si ottiene dunque (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2.
Che cosa significa una pendenza pari a 2?
Una pendenza pari a 2 significa che la retta sale di 2 unità in verticale per ogni unità percorsa in orizzontale. Corrisponde a un angolo di inclinazione di arctan(2) ≈ 63,43° rispetto all'orizzontale.
Qual è l'equazione della retta di pendenza 2 passante per (1; 2)?
Partendo da y = mx + b e ricavando b si ottiene b = y₁ − m×x₁ = 2 − 2×1 = 0. L'equazione è dunque y = 2x, che passa anche per (4; 8) poiché 2×4 = 8.
Perché la pendenza di una retta verticale non è definita?
In una retta verticale tutti i punti condividono la stessa coordinata x, dunque il denominatore della formula della pendenza (x₂−x₁) vale zero. Poiché la divisione per zero non è definita, la pendenza non può essere espressa da un numero e la retta viene invece descritta dall'equazione x = costante.
Che differenza c'è fra pendenza e angolo di inclinazione?
La pendenza è il rapporto numerico fra dislivello e spostamento orizzontale (m), mentre l'angolo di inclinazione è l'angolo in gradi che la retta forma con il semiasse positivo delle x, pari ad arctan(m). Una pendenza di 1 dà un angolo di 45°, mentre una pendenza di 2 dà un angolo di circa 63,43° e non di 90°.
La pendenza può essere negativa?
Sì. Una pendenza negativa indica che la retta scende procedendo da sinistra verso destra. I punti (0; 4) e (2; 0), per esempio, danno una pendenza di (0−4)/(2−0) = −2.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Slope." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry and algebra textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).