Le terne pitagoriche più comuni
Una terna pitagorica è un insieme di tre numeri interi positivi che soddisfano esattamente a² + b² = c². La tabella seguente elenca le terne più piccole e più usate.
| Cateto a | Cateto b | Ipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- Ogni multiplo intero di una terna pitagorica è a sua volta una terna valida: 6-8-10 e 9-12-15, per esempio, sono entrambi multipli di 3-4-5.
- Il teorema di Pitagora vale in modo esatto soltanto per i triangoli rettangoli tracciati su un piano euclideo; non si applica invece ai triangoli su una superficie curva come quella di una sfera.
Che cos'è il teorema di Pitagora?
Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa, ossia del lato opposto all'angolo retto, è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati, detti cateti: a² + b² = c². È una delle relazioni più usate di tutta la geometria, attribuita al matematico greco Pitagora e dimostrata in modo indipendente da più tradizioni matematiche antiche.
Il teorema vale esclusivamente per i triangoli rettangoli, cioè per quelli che contengono un angolo di esattamente 90°. Serve a ricavare un lato incognito quando gli altri due sono noti e sta alla base della formula della distanza, delle identità trigonometriche e di innumerevoli problemi pratici di misura nell'edilizia, nella navigazione e nell'ingegneria.
Come si usa questo calcolatore del teorema di Pitagora
- Scegli che cosa calcolare: l'ipotenusa, noti entrambi i cateti, oppure un cateto mancante, noti l'ipotenusa e l'altro cateto.
- Nella modalità ipotenusa inserisci il cateto a e il cateto b.
- Nella modalità cateto mancante inserisci il cateto noto (a) e l'ipotenusa (c), che deve necessariamente essere maggiore del cateto noto.
- Leggi il lato mancante e, insieme, l'area e il perimetro del triangolo, calcolati a partire da tutti e tre i lati.
La formula del teorema di Pitagora
La stessa equazione di base si riscrive in modo diverso a seconda di quale lato risulti incognito.
Errori frequenti
- Applicare la formula a un triangolo che non è rettangolo: il teorema vale solo quando un angolo misura esattamente 90°.
- Inserire l'ipotenusa in a² + b² = c² come se fosse un cateto, invece di risolvere c² − a² = b² per ricavare il cateto mancante.
- Indicare, nella modalità « cateto mancante », un cateto uguale o maggiore dell'ipotenusa, condizione geometricamente impossibile in un triangolo rettangolo.
- Dimenticare di estrarre la radice quadrata dopo aver sommato o sottratto i quadrati: il teorema fornisce infatti anzitutto il valore al quadrato.
Domande frequenti
Qual è la formula del teorema di Pitagora?
La formula è a² + b² = c², dove a e b sono i due cateti di un triangolo rettangolo e c è l'ipotenusa, ossia il lato opposto all'angolo retto.
Come si trova l'ipotenusa di un triangolo rettangolo?
Si estrae la radice quadrata della somma dei quadrati dei due cateti: c = √(a² + b²). Con cateti 3 e 4 si ottiene c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Come si ricava un cateto mancante con il teorema di Pitagora?
Si sottrae il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa e si estrae poi la radice quadrata: b = √(c² − a²). Con ipotenusa 5 e cateto noto 3 si ottiene b = √(25 − 9) = √16 = 4.
Che cos'è una terna pitagorica?
Una terna pitagorica è un insieme di tre numeri interi positivi a, b e c che soddisfano esattamente a² + b² = c², come 3-4-5, 5-12-13 oppure 8-15-17.
Il teorema di Pitagora vale per tutti i triangoli?
No. Si applica soltanto ai triangoli rettangoli, cioè a quelli con un angolo di esattamente 90°. Per i triangoli privi di angolo retto si ricorre invece al teorema del coseno, che generalizza proprio il teorema di Pitagora.
Qual è l'area di un triangolo rettangolo 3-4-5?
L'area di un triangolo rettangolo è pari a metà del prodotto dei due cateti: A = ½ × a × b. Con cateti 3 e 4 l'area vale ½ × 3 × 4 = 6 unità quadrate, mentre il perimetro è 3 + 4 + 5 = 12 unità.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).