Quando conviene usare il teorema dei seni
Il teorema dei seni si applica direttamente a due casi di risoluzione del triangolo; per gli altri occorre invece il teorema del coseno.
| Valori noti | Metodo migliore |
|---|---|
| Due angoli + un lato qualsiasi (AAL o ALA) | Teorema dei seni: nessuna ambiguità, soluzione unica |
| Due lati + angolo non compreso (LLA) | Teorema dei seni, ma occhio al caso ambiguo (0, 1 o 2 triangoli possibili) |
| Tre lati (LLL) | Teorema del coseno |
| Due lati + angolo compreso (LAL) | Teorema del coseno |
- La modalità AAL/ALA di questo calcolatore, con due angoli e un lato, ammette sempre una sola soluzione valida: il caso ambiguo LLA non si presenta dunque mai qui.
- I tre angoli di un triangolo devono sommare esattamente 180°; se i due angoli inseriti raggiungono o superano già 180°, nessun triangolo valido esiste e il calcolatore non restituisce alcun risultato.
Che cos'è il teorema dei seni?
Il teorema dei seni afferma che in qualsiasi triangolo il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo opposto a quel lato resta costante per tutti e tre i lati: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Grazie a questa proprietà è possibile ricavare un lato o un angolo mancante ogni volta che si dispone di informazioni sufficienti.
Noti due angoli e il lato opposto a uno dei due — il caso AAL o ALA impiegato qui — il triangolo risulta determinato per intero e senza ambiguità. Diverso è il caso LLA, con due lati e un angolo non compreso, che può dare luogo a due triangoli validi, a uno soltanto oppure a nessuno: è il cosiddetto caso ambiguo.
Come si usa questo calcolatore del teorema dei seni
- Inserisci l'angolo A e la lunghezza del lato a, ossia il lato opposto all'angolo A.
- Inserisci l'angolo B, il secondo angolo noto.
- Il calcolatore richiede che la somma degli angoli A e B resti inferiore a 180°, poiché il terzo angolo C deve necessariamente essere positivo.
- Leggi il lato b, l'angolo C, il lato c e l'area del triangolo, tutti ricavati dal teorema dei seni.
La formula del teorema dei seni
Ricavato l'angolo C dalla somma degli angoli (180° − A − B), si applica il rapporto a / sin A del teorema dei seni per determinare entrambi i lati restanti.
Errori frequenti
- Inserire il lato a come se fosse opposto all'angolo B anziché all'angolo A: il teorema dei seni accoppia ogni lato rigorosamente con il proprio angolo opposto.
- Indicare due angoli la cui somma raggiunge o supera 180°, senza lasciare spazio a un terzo angolo valido.
- Confondere il teorema dei seni, fondato sui rapporti fra lati e seni degli angoli opposti, con il teorema del coseno, che serve invece per i casi LAL e LLL.
- Dimenticare che gli angoli vanno inseriti in gradi e non in radianti.
Domande frequenti
Qual è la formula del teorema dei seni?
La formula è a / sin A = b / sin B = c / sin C, dove ogni lato viene accoppiato con il seno dell'angolo che gli sta direttamente di fronte.
Come si ricava un lato mancante con il teorema dei seni?
Si imposta il rapporto con il lato e l'angolo noti e si risolve rispetto al lato incognito: b = (a × sin B) / sin A. Con A = 30°, a = 10 e B = 45° si ottiene b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0,707107) / 0,5 ≈ 14,1421.
Quanto vale il terzo angolo se A = 30° e B = 45°?
Poiché i tre angoli di un triangolo sommano 180°, l'angolo C vale 180° − 30° − 45° = 105°.
Che cos'è il caso ambiguo del teorema dei seni?
Il caso ambiguo, indicato con LLA, si presenta quando sono noti due lati e un angolo non compreso fra loro: a seconda dei valori, nessun triangolo, uno soltanto oppure due triangoli distinti possono soddisfare le misure date. Non si presenta invece nella modalità AAL di questo calcolatore, che ammette sempre una sola soluzione.
Come si calcola l'area di un triangolo con il teorema dei seni?
Noti due lati e l'angolo fra essi compreso, l'area vale ½ × lato₁ × lato₂ × sin(angolo compreso). Con a = 10, b ≈ 14,1421 e angolo compreso C = 105° si ottiene un'area di ½ × 10 × 14,1421 × sin(105°) ≈ 68,3013 unità quadrate.
Quando conviene il teorema dei seni al posto del teorema del coseno?
Il teorema dei seni conviene quando conosci due angoli e un lato qualsiasi (AAL/ALA), oppure due lati e un angolo non compreso (LLA). Il teorema del coseno serve invece quando conosci i tre lati (LLL) o due lati con l'angolo compreso (LAL), casi che il teorema dei seni non risolve direttamente.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).