मूल सवाल: क्या क्रम मायने रखता है?
क्रमचय और संचय दोनों ही n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या गिनते हैं, लेकिन वे दो अलग-अलग सवालों के जवाब देते हैं। एक क्रमचय r वस्तुओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या गिनता है, इसलिए समान वस्तुओं वाले लेकिन अलग क्रम में रखे गए दो चयनों को दो अलग-अलग परिणाम माना जाता है। एक संचय केवल r वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या गिनता है, इसलिए समान वस्तुओं वाले दो चयनों को, चाहे वे किसी भी क्रम में चुनी गई हों, एक ही परिणाम माना जाता है।
यह तय करने का एक आसान तरीका है कि कौन-सा लागू होता है: उन दो चयनों की कल्पना करें जो बिल्कुल वही वस्तुएँ उपयोग करते हैं लेकिन उन्हें अलग तरह से सूचीबद्ध या व्यवस्थित करते हैं। यदि वे दोनों चयन वास्तव में अलग-अलग वास्तविक-दुनिया परिणाम दर्शाते हैं — अलग रैंकिंग, अलग पासवर्ड, किसी दौड़ में अलग समाप्ति क्रम — तो क्रम मायने रखता है और क्रमचय सही गणना है। यदि वे दोनों चयन एक ही वास्तविक-दुनिया परिणाम दर्शाते हैं — वही समिति, ताश का वही हाथ, लॉटरी संख्याओं का वही सेट — तो क्रम मायने नहीं रखता और संचय सही गणना है।
सूत्र: nPr और nCr, एक सत्यापित उदाहरण के साथ
n अलग-अलग वस्तुओं में से चुनी गई r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या nPr = n! / (n − r)! है, और संचयों की संख्या nCr = n! / [r! (n − r)!] है — संचय सूत्र क्रमचय सूत्र को r! से विभाजित करने पर मिलता है, क्योंकि r! से विभाजित करने पर हर समान-वस्तु समूह की उन r! अलग-अलग व्यवस्थाओं को हटा दिया जाता है जिन्हें क्रमचय गणना अलग-अलग मानती है।
हल किया गया उदाहरण: 7 वस्तुओं के समूह में से 3 वस्तुएँ चुनना। क्रमचय: 7P3 = 7! / (7−3)! = 7 × 6 × 5 = 210। संचय: 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35। संचय गणना ठीक-ठीक क्रमचय गणना को 3! = 6 से विभाजित करने पर मिलती है, जो संबंध nCr = nPr / r! की पुष्टि करती है।
| मात्रा | सूत्र | n=7, r=3 के लिए मान |
|---|---|---|
| क्रमचय (क्रम मायने रखता है) | nPr = n! / (n − r)! | 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 |
| संचय (क्रम मायने नहीं रखता) | nCr = n! / [r!(n − r)!] | 7C3 = 210 / 3! = 35 |
पुनरावृत्ति के साथ बनाम बिना पुनरावृत्ति के
ऊपर दिए गए दोनों सूत्र यह मानते हैं कि n वस्तुओं में से हरेक को अधिकतम एक बार ही चुना जा सकता है — यानी बिना पुनरावृत्ति के नमूनाकरण। जब वस्तुओं को दोबारा उपयोग किया जा सकता है (पुनरावृत्ति के साथ नमूनाकरण, जिसे प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण भी कहा जाता है), तो गिनती के सूत्र बदल जाते हैं। पुनरावृत्ति की अनुमति वाले क्रमचय बस n को घात r तक उठा देते हैं, क्योंकि r स्थानों में से हरेक के पास पहले क्या चुना गया था इससे स्वतंत्र होकर सभी n विकल्प उपलब्ध होते हैं: n^r।
पुनरावृत्ति की अनुमति वाले संचय एक अलग सूत्र, C(n + r − 1, r), उपयोग करते हैं, जो यह गिनता है कि n प्रकारों में से r वस्तुएँ चुनने के कितने तरीके हैं जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो और क्रम फिर भी मायने न रखे — यह अपेक्षाकृत कम आवश्यक होने वाला मामला है लेकिन तब सामने आता है, उदाहरण के लिए, जब n फ्लेवरों में से आइसक्रीम के स्कूप चुने जा रहे हों और वही फ्लेवर एक से अधिक बार चुना जा सकता हो।
| स्थिति | सूत्र | सामान्य उदाहरण |
|---|---|---|
| क्रमचय, बिना पुनरावृत्ति के | n! / (n − r)! | 7 फाइनलिस्टों में से 3 विजेताओं की रैंकिंग |
| क्रमचय, पुनरावृत्ति के साथ | n^r | 4-अंकों का पिन जिसमें अंक दोहरा सकते हैं |
| संचय, बिना पुनरावृत्ति के | n! / [r!(n − r)!] | लॉटरी टिकट के लिए 6 संख्याएँ चुनना |
| संचय, पुनरावृत्ति के साथ | (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] | 5 आइसक्रीम फ्लेवरों में से 3 स्कूप चुनना, दोहराव की अनुमति के साथ |
हल किए गए उदाहरण: एक पिन कोड और एक लॉटरी टिकट
एक 4-अंकों का पिन, जिसमें 4 स्थानों में से हरेक 0–9 का कोई भी अंक हो सकता है और अंक दोहराए जा सकते हैं (बैंक पिन के लिए सामान्य नियम), पुनरावृत्ति वाले क्रमचय का उदाहरण है: क्रम मायने रखता है (1234 और 4321 अलग-अलग पिन हैं) और पुनरावृत्ति की अनुमति है, जिससे 10^4 = 10,000 संभावित पिन मिलते हैं। यदि इसके बजाय दोहराए गए अंकों की अनुमति न हो, तो गिनती घटकर बिना-पुनरावृत्ति क्रमचय मान, 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 रह जाएगी — कम संभावनाएँ, क्योंकि उपयोग किया गया हर अंक शेष स्थानों के लिए एक विकल्प हटा देता है।
एक क्लासिक लॉटरी प्रारूप जो 49 के पूल में से 6 संख्याएँ निकालता है, जिसमें कोई संख्या दोहराई नहीं जाती और निकाला गया क्रम इस बात के लिए अप्रासंगिक है कि टिकट जीतता है या नहीं, बिना-पुनरावृत्ति संचय का उदाहरण है: C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13,983,816। यह बड़ा आँकड़ा ही ठीक वह कारण है कि ऐसे लॉटरी प्रारूपों को लंबी-संभावनाओं (long-odds) वाले खेल कहा जाता है — जैसे-जैसे n, r की तुलना में बड़ा होता जाता है, संचय गणना बहुत तेज़ी से बहुत बड़ी हो जाती है, क्योंकि यह किसी छोटे, निश्चित समूह की व्यवस्थाओं के बजाय एक बड़े पूल में से बिना-क्रम समूहों को गिन रही होती है।
किस सूत्र का उपयोग करें, यह याद रखने का एक आसान तरीका
Permutation (क्रमचय) और position (स्थान) दोनों अंग्रेज़ी में P-ध्वनि से शुरू होते हैं, और एक उपयोगी याददाश्त तरकीब यह है कि क्रमचय स्थान की परवाह करते हैं — क्रम में हर वस्तु कहाँ है। Combination (संचय) एक संयुक्त समूह का वर्णन करता है, जैसे किसी थैले या किसी समिति की सामग्री, जहाँ केवल सदस्यता मायने रखती है, वह क्रम नहीं जिसमें सदस्य जोड़े गए थे।
पासवर्ड, पिन, दौड़ की रैंकिंग, और कोई भी बैठने या शेड्यूलिंग व्यवस्था क्रमचय की समस्याएँ हैं, क्योंकि क्रम बदलने से परिणाम बदल जाता है। ताश के हाथ, लॉटरी संख्या सेट, समिति सदस्यताएँ, और कोई भी बिना-क्रम समूह चयन संचय की समस्याएँ हैं, क्योंकि केवल सदस्य ही मायने रखते हैं, वह क्रम नहीं जिसमें उन्हें चुना गया।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?
एक क्रमचय ऐसी व्यवस्थाओं को गिनता है जहाँ क्रम मायने रखता है, इसलिए समान वस्तुओं को अलग क्रम में चुनना एक अलग परिणाम माना जाता है। एक संचय ऐसे चयनों को गिनता है जहाँ क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए किसी भी क्रम में समान वस्तुओं को एक ही परिणाम माना जाता है। दोनों n वस्तुओं के समान समूह से शुरू होते हैं और उनमें से r चुनना शामिल होता है, लेकिन समान n और r के लिए क्रमचय गणना हमेशा संबंधित संचय गणना से बड़ी या उसके बराबर होती है।
7P3 क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है?
7P3 बराबर है 210, यानी 7 अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से 3 वस्तुएँ चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या जहाँ क्रम मायने रखता है। इसकी गणना 7P3 = 7! / (7 − 3)! = 7 × 6 × 5 = 210 के रूप में की जाती है, यानी 7! के तीन सबसे बड़े गुणनखंडों को गुणा करके, क्योंकि छोटे गुणनखंड हर में मौजूद (7−3)! से कट जाते हैं।
7C3 क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है?
7C3 बराबर है 35, यानी 7 अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से 3 वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। इसकी गणना 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35 के रूप में की जाती है — ठीक-ठीक क्रमचय गणना, 7P3 = 210, को 3! (उसी 3 वस्तुओं के समूह को दोबारा व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या) से विभाजित करने पर, क्योंकि संचय समान समूह की सभी व्यवस्थाओं को एक ही परिणाम में समेट देता है।
पिन क्रमचय का उपयोग क्यों करते हैं और लॉटरी संचय का?
एक पिन 1234 और 4321 को अलग-अलग कोड मानता है, इसलिए अंकों का क्रम परिणाम बदल देता है, जो एक क्रमचय परिदृश्य है — सामान्य 4-अंकों के पिन के लिए पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ, जिससे 10^4 = 10,000 संभावनाएँ मिलती हैं। एक लॉटरी टिकट केवल इस आधार पर जीतता है कि कौन-सी संख्याएँ निकाली गईं, न कि वे किस क्रम में निकलीं, इसलिए समान संख्याओं वाले दो अलग-क्रम निकाले गए परिणाम एक ही जीतने वाला परिणाम माने जाते हैं, जो एक संचय परिदृश्य है — 6-में-से-49 प्रारूप के लिए, C(49,6) = 13,983,816 संभावित संख्या सेट।
क्रमचय या संचय सूत्र में 'पुनरावृत्ति के साथ' का क्या मतलब है?
इसका मतलब है कि एक ही वस्तु को एक ही परिणाम के भीतर एक से अधिक बार चुना जा सकता है। पुनरावृत्ति की अनुमति वाले क्रमचय n^r का उपयोग करते हैं (r स्थानों में से हरेक के पास स्वतंत्र रूप से सभी n विकल्प होते हैं), जबकि पुनरावृत्ति की अनुमति वाले संचय (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] का उपयोग करते हैं। बिना पुनरावृत्ति के, हर वस्तु अधिकतम एक बार उपयोग की जा सकती है, जो मानक nPr और nCr सूत्र मानते हैं।
संदर्भ
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018 (permutations, combinations, and counting with repetition).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (combinatorial counting methods).
- Weisstein EW. "Permutation" and "Combination." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.