सही सूत्र चुनना: क्रम और पुनरावृत्ति
दो स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रश्नों के आधार पर चार अलग-अलग गणना सूत्र लागू होते हैं: क्या क्रम मायने रखता है, और क्या पुनरावृत्ति की अनुमति है?
| क्रम मायने रखता है? | पुनरावृत्ति की अनुमति है? | सूत्र | उदाहरण स्थिति |
|---|---|---|---|
| हाँ | नहीं | nPr = n! ÷ (n − r)! | 7 धावकों में पहला/दूसरा/तीसरा स्थान देना |
| हाँ | हाँ | nʳ | अंक 0–6 से 3-अंकीय पिन बनाना, दोहराव की अनुमति |
| नहीं | नहीं | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | 7 लोगों में से 3-सदस्यीय समिति चुनना |
| नहीं | हाँ | C(n+r−1, r) | 7 आइसक्रीम फ्लेवर में से 3 स्कूप चुनना, दोहराव की अनुमति |
- समान n और r के लिए nCr हमेशा nPr से कम या बराबर होता है (विशेष रूप से nCr = nPr ÷ r!), क्योंकि संचय एक ही वस्तुओं की r! व्यवस्थाओं के हर समूह को एक ही गिनती में समेट देता है।
- जब r = 0 हो, तो परंपरा के अनुसार nPr और nCr दोनों 1 के बराबर होते हैं — शून्य वस्तुएँ चुनने (खाली चयन) का ठीक एक तरीका है।
- जब r = n हो (बिना पुनरावृत्ति), तो nPr = n! और nCr = 1 होता है — सभी n वस्तुओं को एक अक्रमबद्ध समुच्चय के रूप में 'चुनने' का केवल एक तरीका है, लेकिन उन सभी को क्रम में व्यवस्थित करने के n! तरीके हैं।
क्रमचय और संचय क्या हैं?
क्रमचय वस्तुओं की ऐसी व्यवस्था है जिसमें क्रम मायने रखता है। n अलग-अलग वस्तुओं के समुच्चय में से r वस्तुओं के क्रमचयों (बिना पुनरावृत्ति) की संख्या को nPr लिखा जाता है और यह 'पहला स्थान, दूसरा स्थान, तीसरा स्थान' जैसी व्यवस्थाओं को गिनता है, जहाँ दो चुनी गई वस्तुओं को अदल-बदल करने पर एक अलग, भिन्न परिणाम मिलता है।
संचय वस्तुओं का ऐसा चयन है जिसमें क्रम मायने नहीं रखता। n अलग-अलग वस्तुओं में से r वस्तुओं के संचयों की संख्या को nCr लिखा जाता है (इसे “n choose r” या द्विपद गुणांक भी कहते हैं) और यह किसी समिति या ताश के पत्तों के हाथ जैसे समूहों को गिनता है, जहाँ अलग क्रम में वही वस्तुएँ एक ही परिणाम मानी जाती हैं।
मुख्य प्रश्न यह है: क्या चुनी गई वही वस्तुओं को फिर से व्यवस्थित करने पर परिणाम बदल जाता है? यदि हाँ (जैसे स्वर्ण/रजत/कांस्य पदक देना, या शेल्फ पर किताबें सजाना), तो क्रमचय का उपयोग करें। यदि नहीं (जैसे 3 सदस्यों की समिति चुनना, या ताश के पत्तों का हाथ चुनना), तो संचय का उपयोग करें। यह कैलकुलेटर 'पुनरावृत्ति सहित' रूप भी दिखाता है, जो तब लागू होते हैं जब एक ही वस्तु को एक से अधिक बार चुना जा सकता है (जैसे पिन के लिए अंक चुनना, या आइसक्रीम के फ्लेवर के स्कूप जहाँ दोहराव की अनुमति हो)।
इस क्रमचय और संचय कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- n दर्ज करें — चुनने के लिए उपलब्ध कुल अलग-अलग वस्तुओं की संख्या।
- r दर्ज करें — चुनी या व्यवस्थित की जाने वाली वस्तुओं की संख्या। r को n से कम या बराबर होना चाहिए: यदि r, n से बड़ा हो तो कैलकुलेटर कोई भी परिणाम नहीं देता, पुनरावृत्ति-सहित परिणाम भी नहीं।
- यदि चयन का क्रम मायने रखता है और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो क्रमचय (nPr) पढ़ें, या यदि क्रम मायने नहीं रखता और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो संचय (nCr) पढ़ें।
- जिन स्थितियों में एक ही वस्तु को एक से अधिक बार चुना जा सकता है, वहाँ मानक nPr/nCr मानों के बजाय 'पुनरावृत्ति सहित' परिणामों का उपयोग करें।
क्रमचय और संचय के सूत्र
n में से बिना पुनरावृत्ति चुनी गई r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या nPr = n! ÷ (n − r)! है, जो n से शुरू होने वाले r लगातार घटते पूर्णांकों के गुणनफल के बराबर है। n = 7, r = 3 के साथ हल किया उदाहरण: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 — 7 प्रतियोगियों में अलग-अलग पहला, दूसरा और तीसरा स्थान देने के तरीकों की संख्या।
n में से बिना पुनरावृत्ति चुनी गई r वस्तुओं के संचयों की संख्या nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r! है। यह प्रत्येक चुने गए समूह को क्रमबद्ध करने के r! तरीकों को हटा देता है, क्योंकि संचय क्रम में अंतर नहीं करता। n = 7, r = 3 के साथ हल किया उदाहरण: 7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35 — 7 लोगों में से बनाई जा सकने वाली अलग-अलग 3-सदस्यीय समितियों की संख्या।
पुनरावृत्ति की अनुमति वाले क्रमचय (जहाँ r में से प्रत्येक स्थान स्वतंत्र रूप से n वस्तुओं में से कोई भी हो सकता है) बस nʳ है। n = 7, r = 3 के लिए: 7³ = 343 — उदाहरण के लिए, यदि दोहराव की अनुमति हो तो अंक 0–6 का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले अलग-अलग 3-अंकीय कोड की संख्या। पुनरावृत्ति की अनुमति वाले संचय 'स्टार्स एंड बार्स' सूत्र C(n + r − 1, r) का उपयोग करते हैं। n = 7, r = 3 के लिए: C(9, 3) = 84 — उदाहरण के लिए, 7 फ्लेवर में से 3 स्कूप आइसक्रीम चुनने के तरीकों की संख्या जब दोहराए गए फ्लेवर की अनुमति हो और क्रम मायने न रखता हो।
सामान्य गलतियाँ
- जब क्रम वास्तव में मायने नहीं रखता (या इसके विपरीत) तब क्रमचय सूत्र का उपयोग करना — सूत्र चुनने से पहले जाँच लें कि क्या दो चुनी गई वस्तुओं को अदल-बदल करने से परिणाम बदलता है।
- यह जाँचना भूल जाना कि पुनरावृत्ति की अनुमति है या नहीं — 'पिन चुनना' (अंक दोहराए जा सकते हैं) के लिए 'डेक से पत्ते बाँटना' (बिना पुनरावृत्ति, पत्ते डेक में वापस नहीं आते) से अलग सूत्र चाहिए।
- बिना पुनरावृत्ति की अनुमति के r को n से बड़ा रखकर nPr या nCr लगाना — यह अपरिभाषित है, क्योंकि बिना दोहराए समुच्चय में मौजूद वस्तुओं से अधिक अलग वस्तुएँ नहीं चुनी जा सकतीं।
- 'पुनरावृत्ति सहित संचय' (स्टार्स-एंड-बार्स सूत्र) को सामान्य nCr के साथ भ्रमित करना — इनके परिणाम बहुत अलग होते हैं और अलग-अलग स्थितियों पर लागू होते हैं (दोहराव की अनुमति बनाम नहीं)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?
क्रमचय उन व्यवस्थाओं को गिनता है जहाँ क्रम मायने रखता है (nPr = n! ÷ (n−r)!) — उदाहरण के लिए, पहला, दूसरा और तीसरा स्थान तय करना। संचय उन चयनों को गिनता है जहाँ क्रम मायने नहीं रखता (nCr = n! ÷ (r!(n−r)!)) — उदाहरण के लिए, एक समिति चुनना। n = 7 और r = 3 के लिए: 7P3 = 210 (क्रमबद्ध), लेकिन 7C3 = 35 (अक्रमबद्ध), क्योंकि 3 लोगों के हर समूह को 3! = 6 अलग-अलग क्रमों में व्यवस्थित किया जा सकता है, और 210 ÷ 6 = 35।
nCr (n choose r) की गणना कैसे करें?
सूत्र nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) का उपयोग करें। n = 7, r = 3 के लिए: 7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35। इसके बराबर, पहले nPr निकालें (7 × 6 × 5 = 210) और r! (3! = 6) से भाग दें: 210 ÷ 6 = 35।
nPr की गणना कैसे करें?
सूत्र nPr = n! ÷ (n − r)! का उपयोग करें, जो n से शुरू होने वाले r लगातार घटते पूर्णांकों के गुणनफल के बराबर सरल हो जाता है। n = 7, r = 3 के लिए: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210।
क्रमचय या संचय की समस्या में पुनरावृत्ति की अनुमति कब देनी चाहिए?
पुनरावृत्ति की अनुमति तब दें जब एक ही वस्तु को एक ही परिणाम में एक से अधिक बार चुना जा सके — उदाहरण के लिए, पिन कोड के अंक, या आइसक्रीम के फ्लेवर जब ग्राहक कई स्कूप के लिए एक ही फ्लेवर चुन सके। पुनरावृत्ति की अनुमति तब न दें जब प्रत्येक वस्तु का उपयोग केवल एक बार हो सकता हो — उदाहरण के लिए, अलग-अलग ताश के पत्ते बाँटना, या अलग-अलग लोगों को भूमिकाएँ सौंपना।
जब r, n के बराबर हो तो nPr क्या होता है?
जब r = n हो (सभी n वस्तुओं को बिना पुनरावृत्ति व्यवस्थित करना), तो nPr सरल होकर n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n! हो जाता है। यह एक पंक्ति में सभी n अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों को दर्शाता है — उदाहरण के लिए, 5 वस्तुओं को पूरी तरह से 5! = 120 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
पुनरावृत्ति सहित संचय के लिए 'स्टार्स एंड बार्स' का क्या अर्थ है?
'स्टार्स एंड बार्स' पुनरावृत्ति की अनुमति वाले संचयों को गिनने की मानक संयोजन तकनीक है, जो सूत्र C(n + r − 1, r) देती है। इसमें चुनी गई r वस्तुओं को 'स्टार' के रूप में दर्शाया जाता है, जिन्हें n श्रेणियों के बीच की सीमाओं को चिह्नित करने वाले 'बार' से अलग किया जाता है, फिर स्टार और बार की व्यवस्थाओं को गिना जाता है। n = 7, r = 3 के लिए: C(9, 3) = 84।
संदर्भ
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)