Choisir la bonne formule : ordre et répétition
Quatre formules de dénombrement se partagent le terrain, selon deux questions indépendantes : l'ordre compte-t-il, et la répétition est-elle permise ?
| L'ordre compte ? | Répétition permise ? | Formule | Exemple de situation |
|---|---|---|---|
| Oui | Non | nPr = n! ÷ (n − r)! | Attribuer les 1re, 2e et 3e places parmi 7 coureurs |
| Oui | Oui | nʳ | Composer un code à 3 chiffres avec les chiffres 0 à 6, répétitions permises |
| Non | Non | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | Former un comité de 3 personnes parmi 7 |
| Non | Oui | C(n+r−1, r) | Choisir 3 boules parmi 7 parfums de glace, répétitions permises |
- À n et r donnés, nCr reste toujours inférieur ou égal à nPr — précisément nCr = nPr ÷ r! —, puisque les combinaisons regroupent en une seule occurrence les r! ordres possibles d'un même ensemble d'éléments.
- Lorsque r = 0, nPr et nCr valent 1 par convention : il existe exactement une façon de ne rien sélectionner, la sélection vide.
- Lorsque r = n et sans répétition, nPr = n! tandis que nCr = 1 : il n'y a qu'une manière de « choisir » les n éléments comme ensemble non ordonné, mais n! façons de les ranger dans un ordre.
Que sont les permutations et les combinaisons ?
Une permutation est un arrangement d'éléments dans lequel l'ordre compte. Le nombre de permutations de r éléments prélevés dans un ensemble de n éléments distincts, sans répétition, se note nPr : il dénombre des dispositions du type « première, deuxième, troisième place », où échanger deux éléments sélectionnés produit un résultat différent.
Une combinaison est une sélection d'éléments dans laquelle l'ordre est indifférent. Le nombre de combinaisons de r éléments choisis parmi n distincts se note nCr — on dit aussi « r parmi n », ou coefficient binomial — et dénombre des regroupements comme un comité ou une main de cartes, où les mêmes éléments rangés autrement constituent le même résultat.
La question décisive est donc : réordonner les mêmes éléments change-t-il le résultat ? Si oui — attribuer les médailles d'or, d'argent et de bronze, ou ranger des livres sur une étagère —, prenez les permutations. Si non — former un comité de trois personnes, recevoir une main de cartes —, prenez les combinaisons. Ce calculateur donne en outre les variantes « avec répétition », valables lorsqu'un même élément peut être choisi plusieurs fois : chiffres d'un code confidentiel, boules de glace d'un même parfum, etc.
Comment utiliser ce calculateur de permutations et combinaisons
- Saisissez n, le nombre total d'éléments distincts disponibles.
- Saisissez r, le nombre d'éléments à sélectionner ou à arranger. r doit rester inférieur ou égal à n : si r dépasse n, le calculateur ne renvoie aucun résultat, pas même ceux avec répétition.
- Lisez les permutations (nPr) si l'ordre de sélection compte et que la répétition est exclue, ou les combinaisons (nCr) si l'ordre est indifférent et la répétition exclue.
- Lorsqu'un même élément peut être choisi plusieurs fois, retenez plutôt les résultats « avec répétition » que les valeurs nPr et nCr classiques.
Les formules des permutations et des combinaisons
Le nombre de permutations de r éléments choisis parmi n, sans répétition, vaut nPr = n! ÷ (n − r)!, c'est-à-dire le produit de r entiers consécutifs décroissants à partir de n. Exemple traité avec n = 7 et r = 3 : 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210, soit le nombre de façons d'attribuer les 1re, 2e et 3e places parmi 7 concurrents.
Le nombre de combinaisons de r éléments choisis parmi n, sans répétition, vaut nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. On y divise par les r! façons d'ordonner chaque groupe retenu, puisque les combinaisons ignorent l'ordre. Exemple traité avec n = 7 et r = 3 : 7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35, soit le nombre de comités distincts de 3 personnes formés à partir de 7.
Les permutations avec répétition — chacune des r positions pouvant accueillir indépendamment n'importe lequel des n éléments — se comptent simplement par nʳ. Pour n = 7 et r = 3 : 7³ = 343, par exemple le nombre de codes à 3 chiffres formés avec les chiffres 0 à 6 quand les répétitions sont permises. Les combinaisons avec répétition relèvent de la formule dite des « étoiles et barres » : C(n + r − 1, r). Pour n = 7 et r = 3 : C(9, 3) = 84, par exemple le nombre de façons de choisir 3 boules de glace parmi 7 parfums lorsque les parfums peuvent se répéter et que l'ordre ne compte pas.
Erreurs fréquentes
- Employer la formule des permutations alors que l'ordre n'intervient pas, ou l'inverse : vérifiez d'abord si échanger deux éléments sélectionnés modifie le résultat.
- Négliger la question de la répétition : composer un code confidentiel (chiffres répétables) n'obéit pas à la même formule que distribuer des cartes d'un jeu, où chaque carte ne revient pas dans le paquet.
- Appliquer nPr ou nCr avec r supérieur à n sans autoriser la répétition : l'expression n'a alors aucun sens, puisqu'on ne peut sélectionner plus d'éléments distincts que l'ensemble n'en contient.
- Confondre les combinaisons avec répétition (formule des étoiles et barres) et le nCr ordinaire : les deux donnent des résultats très différents et répondent à des situations distinctes.
Questions fréquentes
Quelle différence entre une permutation et une combinaison ?
Une permutation dénombre des arrangements où l'ordre compte, nPr = n! ÷ (n−r)!, par exemple un classement 1re, 2e et 3e place. Une combinaison dénombre des sélections où l'ordre est indifférent, nCr = n! ÷ (r!(n−r)!), par exemple le choix d'un comité. Pour n = 7 et r = 3 : 7P3 = 210 en ordonné, mais 7C3 = 35 en non ordonné, puisque chaque groupe de 3 personnes admet 3! = 6 ordres distincts, et 210 ÷ 6 = 35.
Comment calculer nCr, soit r parmi n ?
Appliquez nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Pour n = 7 et r = 3 : 7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5 040 ÷ (6 × 24) = 5 040 ÷ 144 = 35. Vous pouvez aussi calculer d'abord nPr (7 × 6 × 5 = 210) puis diviser par r! (3! = 6) : 210 ÷ 6 = 35.
Comment calculer nPr ?
Appliquez nPr = n! ÷ (n − r)!, qui se ramène au produit de r entiers consécutifs décroissants à partir de n. Pour n = 7 et r = 3 : 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210.
Quand faut-il autoriser la répétition ?
Autorisez-la dès qu'un même élément peut figurer plusieurs fois dans un même résultat : les chiffres d'un code confidentiel, ou les parfums de glace quand un client peut reprendre le même pour plusieurs boules. Excluez-la quand chaque élément ne sert qu'une fois : distribution de cartes distinctes, attribution de rôles à des personnes différentes.
Que vaut nPr lorsque r égale n ?
Lorsque r = n, c'est-à-dire quand on arrange les n éléments sans répétition, nPr se simplifie en n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!. Ce nombre représente le total des façons d'aligner les n éléments distincts : 5 éléments admettent ainsi 5! = 120 arrangements.
Que signifie la méthode des « étoiles et barres » ?
« Étoiles et barres » désigne la technique combinatoire classique de dénombrement des combinaisons avec répétition, qui aboutit à la formule C(n + r − 1, r). Elle consiste à représenter les r éléments choisis par des étoiles, séparées par des barres marquant les frontières entre les n catégories, puis à compter les arrangements de ces symboles. Pour n = 7 et r = 3 : C(9, 3) = 84.
Références
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)