Was ist eigentlich ein Integral? Fläche, Riemann-Summen und der Hauptsatz der Analysis

Die Frage, die ein Integral beantwortet: Wie viel Fläche liegt unter dieser Kurve?

Ein bestimmtes Integral, geschrieben als ∫ₐᵇ f(x) dx, beantwortet eine konkrete geometrische Frage: Wie groß ist die netto vorzeichenbehaftete Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse, von x = a bis x = b? „Netto vorzeichenbehaftet" bedeutet, dass Fläche, bei der f(x) positiv ist (die Kurve liegt über der x-Achse), positiv gezählt wird, während Fläche, bei der f(x) negativ ist (die Kurve liegt unter der x-Achse), negativ gezählt wird und von der Gesamtsumme abgezogen wird.

Das ist eine andere Frage als die nach der Ableitung, die eine Änderungsrate an einem einzelnen Punkt misst. Ein Integral akkumuliert stattdessen eine Größe -- die Fläche -- über ein gesamtes Intervall, weshalb Integrale immer dann natürlich auftreten, wenn sich eine Gesamtgröße aus einer kontinuierlich variierenden Rate aufbaut, etwa die zurückgelegte Gesamtstrecke aus einer variierenden Geschwindigkeit oder die gesamte akkumulierte Menge aus einer variierenden Produktionsrate.

Riemann-Summen: Flächenannäherung mit Rechtecken

Eine Riemann-Summe nähert die Fläche unter einer Kurve an, indem das Intervall [a, b] in n kleinere Teilintervalle zerlegt wird, über jedem davon ein Rechteck gezeichnet wird, dessen Höhe dem Funktionswert an einem Punkt innerhalb dieses Teilintervalls entspricht, und die Flächen aller Rechtecke aufsummiert werden. Die drei gängigen Varianten -- linke, rechte und Mittelpunkt-Riemann-Summe -- unterscheiden sich nur darin, welcher Punkt innerhalb jedes Teilintervalls zur Festlegung der Rechteckhöhe verwendet wird: der linke Randpunkt, der rechte Randpunkt oder der Mittelpunkt.

Mit wachsender Anzahl der Teilintervalle n wird jedes Rechteck schmaler, und die gezackte, rechteckige Näherung schmiegt sich enger an die wahre Kurve an, sodass sich die Summe der Riemann-Summe der exakten Fläche annähert. Das bestimmte Integral ist formal definiert als der Grenzwert einer Riemann-Summe, wenn n gegen unendlich geht (gleichbedeutend damit, dass die Breite jedes Rechtecks gegen null geht) -- dieser Grenzwert macht das Integral zu einer präzise definierten Zahl und nicht nur zu einer Näherung.

Von Riemann-Summen zur Simpson-Regel: die Methode dieses Rechners

Die Tabelle oben zeigt, wie sowohl die linke als auch die Mittelpunkt-Riemann-Summe für f(x) = x² auf [0, 1] mit wachsender Anzahl der Teilintervalle n gegen den exakten Wert 1/3 ≈ 0,33333333 konvergieren -- die Mittelpunktversion konvergiert für diese Funktion merklich schneller als die Variante mit dem linken Randpunkt, was verdeutlicht, dass nicht alle Varianten der Riemann-Summe mit derselben Geschwindigkeit konvergieren.

Der Integralrechner dieser Seite verwendet überhaupt keine Rechtecke; er nutzt die adaptive zusammengesetzte Simpson-Regel, ein numerisches Integrationsverfahren, das über jedes Paar benachbarter Teilintervalle einen parabolischen Bogen legt (statt einer flachen Rechteckoberseite) und die Flächen unter diesen Parabeln aufsummiert. Da eine Parabel der Krümmung einer Kurve weitaus enger folgen kann als eine flache Rechteckoberseite, erreicht die Simpson-Regel eine gegebene Genauigkeit mit weit weniger Teilintervallen, als eine Riemann-Summe benötigt -- der Rechner verdoppelt die Anzahl der Teilintervalle wiederholt, bis aufeinanderfolgende Schätzungen bis zu einer engen numerischen Toleranz übereinstimmen, und gibt dann diesen konvergierten Wert aus.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, verständlich erklärt

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet zwei Operationen der Analysis, die zunächst völlig unterschiedliche Dinge zu messen scheinen -- die Ableitung (momentane Änderungsrate) und das bestimmte Integral (akkumulierte Fläche) -- und zeigt, dass sie zueinander inverse Operationen sind. Informell ausgedrückt: Ist F irgendeine Stammfunktion von f (das heißt F'(x) = f(x)), dann entspricht das bestimmte Integral von f von a bis b genau F(b) − F(a), also der Änderung des Werts von F über das Intervall.

Dieser Satz ist es, der die exakte, symbolische Auswertung vieler Integrale ermöglicht, ohne jemals Rechtecke oder Parabeln von Hand aufzusummieren: Ist einmal eine Stammfunktionsformel gefunden, lässt sich jedes bestimmte Integral dieser Funktion durch einfache Subtraktion auswerten. Der Integralrechner dieser Seite geht diesen Weg nicht -- er berechnet das Integral direkt numerisch mit der Simpson-Regel, ohne zuvor eine Stammfunktionsformel zu finden oder zu benötigen, was mit ein Grund dafür ist, dass er auch Funktionen integrieren kann, die keine einfache geschlossene Stammfunktion besitzen.

Rechenbeispiel: ∫₀¹ x² dx = 1/3

Die Funktion f(x) = x² besitzt die Stammfunktion F(x) = x³/3, da die Ableitung von x³/3 nach der Potenzregel wieder x² ergibt. Wendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an: ∫₀¹ x² dx = F(1) − F(0) = (1³/3) − (0³/3) = 1/3 − 0 = 1/3 ≈ 0,33333333.

Dieses exakte symbolische Ergebnis stimmt sowohl mit der obigen Riemann-Summen-Tabelle überein, die sich mit wachsender Rechteckanzahl 1/3 annähert, als auch mit dem numerischen Ergebnis der Simpson-Regel, das dieser Rechner für dieselben Grenzen liefern würde -- drei verschiedene Wege (symbolische Stammfunktionsbildung, der Grenzwert von Riemann-Summen und adaptive numerische Quadratur) konvergieren zum identischen Wert 1/3, weil sie alle dieselbe netto vorzeichenbehaftete Fläche berechnen.

Häufig gestellte Fragen

Quellenangaben

1. Stewart J. Calculus. Cengage Learning (Riemann sums, the definite integral, the Fundamental Theorem of Calculus, and Simpson's rule).
2. Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (composite Simpson's rule and its error bounds).
3. Atkinson KE. An Introduction to Numerical Analysis. Wiley (numerical integration methods).
4. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — quadrature. dlmf.nist.gov.