Vorzeichen in den Quadranten und Standardwinkel am Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens weisen in jedem der vier Quadranten ein festes Vorzeichenmuster auf und nehmen bei den unten aufgeführten Standardbezugswinkeln exakte Werte an.
| Quadrant | Winkelbereich | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | positiv | positiv | positiv |
| II | 90°–180° | positiv | negativ | negativ |
| III | 180°–270° | negativ | negativ | positiv |
| IV | 270°–360° | negativ | positiv | negativ |
- Der Bezugswinkel ist stets der spitze Winkel (0° bis 90°) zwischen dem freien Schenkel und der x-Achse; zusammen mit dem Vorzeichenmuster des Quadranten dient er dazu, die exakten trigonometrischen Werte eines beliebigen Winkels aus den Standardwerten bei 0°, 30°, 45°, 60° und 90° zu gewinnen.
- Der Tangens ist bei 90° und 270° (sowie bei deren koterminalen Entsprechungen) nicht definiert, da der Kosinus bei diesen Winkeln null beträgt.
- Winkel über 360° sowie negative Winkel werden zunächst auf einen koterminalen Winkel innerhalb von [0°, 360°) zurückgeführt, bevor Quadrant und Bezugswinkel bestimmt werden.
Was ist der Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung der Koordinatenebene. Für jeden Winkel θ, der im Gegenuhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen wird, besitzt derjenige Punkt, in dem der freie Schenkel des Winkels den Kreis schneidet, die Koordinaten (cos θ, sin θ) — womit der Einheitskreis zugleich die anschauliche und die rechnerische Grundlage sämtlicher trigonometrischer Funktionen bildet.
Da der Radius des Kreises genau 1 beträgt, lassen sich Sinus- und Kosinuswerte unmittelbar als Koordinaten ablesen, ohne dass eine Skalierung nötig wäre. Dieser Rechner weist überdies den koterminalen Winkel (den gleichwertigen Winkel zwischen 0° und 360°), den Quadranten, in den der freie Schenkel fällt, sowie den Bezugswinkel (den spitzen Winkel zur nächstgelegenen x-Achse) aus, die zusammen Vorzeichen und Betrag der trigonometrischen Werte erklären.
So verwenden Sie diesen Einheitskreis-Rechner
- Geben Sie den Wert des Winkels ein.
- Wählen Sie die Winkeleinheit: Grad oder Bogenmaß.
- Lesen Sie Sinus, Kosinus und Tangens des Winkels ab sowie dessen Quadranten, Bezugswinkel und koterminalen Winkel (den gleichwertigen Winkel innerhalb einer einzigen Umdrehung von 0° bis 360°).
Die Formeln am Einheitskreis
Da der Einheitskreis den Radius 1 besitzt, stimmen die Koordinaten (x, y) eines Punktes mit (cos θ, sin θ) überein — anders als bei einem beliebigen Kreis ist daher keine zusätzliche Skalierung mit dem Radius erforderlich.
Häufige Fehler
- Die Winkeleinheit auf Bogenmaß belassen, obwohl ein Gradwert eingegeben wird, oder umgekehrt, wodurch ein plausibel wirkendes, gleichwohl falsches Ergebnis entsteht.
- Annehmen, der Bezugswinkel entspreche bei Winkeln außerhalb des ersten Quadranten dem eingegebenen Winkel — der Bezugswinkel wird stets von der nächstgelegenen x-Achse aus gemessen und nicht von 0° aus.
- Bei 90° oder 270° einen Zahlenwert für den Tangens erwarten, obwohl dieser dort nicht definiert ist, da der Kosinus null beträgt.
- Übersehen, dass negative Winkel und Winkel über 360° einem koterminalen Winkel innerhalb einer vollen Umdrehung (0° bis 360°) gleichwertig sind.
Häufig gestellte Fragen
Wie groß sind Sinus und Kosinus bei 225 Grad?
Bei 225° gilt sin(225°) = cos(225°) = −0,707107, beide also gleich −√2/2. Das rührt daher, dass 225° im dritten Quadranten liegt, wo der Bezugswinkel 45° beträgt (225° − 180°) und sowohl Sinus als auch Kosinus negativ sind.
In welchem Quadranten liegen 225 Grad?
225° fällt in den dritten Quadranten (180° bis 270°), in dem Sinus und Kosinus beide negativ sind, der Tangens hingegen positiv ist. Der zugehörige Bezugswinkel beträgt 225° − 180° = 45°.
Was ist ein Bezugswinkel?
Ein Bezugswinkel ist der spitze Winkel, stets zwischen 0° und 90°, der zwischen dem freien Schenkel eines Winkels und der x-Achse gebildet wird. Für einen Winkel von 225° beträgt der Bezugswinkel daher 45°, da 225° um 45° über die Marke von 180° hinausgeht.
Was ist ein koterminaler Winkel?
Ein koterminaler Winkel ist ein Winkel, der nach dem Zurückführen auf den Bereich von 0° bis 360° (also auf eine volle Umdrehung) denselben freien Schenkel besitzt. Zu einem Winkel von 585° gehört daher der koterminale Winkel 585° − 360° = 225°, da beide auf dieselbe Stelle des Kreises weisen.
Warum ist tan(90°) am Einheitskreis nicht definiert?
Der Tangens ist sin θ / cos θ, und bei 90° lautet der Punkt auf dem Einheitskreis (0, 1), sodass cos(90°) = 0 gilt. Da die Division durch null nicht definiert ist, besitzt der Tangens bei 90° keinen Wert — und ebenso wenig bei 270°, wo der Kosinus gleichfalls null ist.
Wie lauten die exakten Sinus- und Kosinuswerte bei 30°, 45° und 60°?
Es gilt sin(30°) = 0,5 und cos(30°) ≈ 0,866025; ferner sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sowie sin(60°) ≈ 0,866025 und cos(60°) = 0,5. Diese Werte des Einheitskreises werden am häufigsten auswendig gelernt und liegen sämtlich im ersten Quadranten.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).