Werte gebräuchlicher Winkel
Die folgende Tabelle führt die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte der am häufigsten verwendeten Winkel auf, geprüft auf sechs Nachkommastellen.
| Winkel | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866025 | 0,577350 |
| 45° | 0,707107 | 0,707107 | 1 |
| 60° | 0,866025 | 0,5 | 1,732051 |
| 90° | 1 | 0 | nicht definiert |
- Der Tangens ist bei 90° (und bei jedem Winkel 90° + 180°k) nicht definiert, da der Kosinus dort null wird und das Verhältnis sin/cos dadurch undefiniert bleibt.
- Die Winkeleinheit zu verwechseln zählt zum häufigsten Fehler in der Trigonometrie überhaupt — derselbe Zahlenwert 30 bezeichnet in Grad (30°) einen ganz anderen Winkel als im Bogenmaß (ungefähr 1719°).
- Bei den Umkehrfunktionen ist eine Eingabe außerhalb von [−1, 1] für Arkussinus oder Arkuskosinus mathematisch nicht definiert, da kein reeller Winkel einen Sinus oder Kosinus außerhalb dieses Bereichs besitzt.
Was sind die trigonometrischen Funktionen?
Sinus, Kosinus und Tangens setzen die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu den Verhältnissen seiner Seitenlängen in Beziehung: Der Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, der Kosinus die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse und der Tangens die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete (gleichbedeutend mit sin θ / cos θ). Ihre Umkehrfunktionen — Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens — nehmen ein Verhältnis entgegen und liefern den zugehörigen Winkel.
Sinus und Kosinus sind zueinander komplementär: Es gilt sin(θ) = cos(90° − θ). Dieser Rechner zeigt diesen Kofunktionswert daher neben dem Hauptergebnis für sin, cos, asin und acos an und stellt dem Tangens den Kotangens zur Seite, sodass der Zusammenhang zwischen verwandten Funktionen auf einen Blick erkennbar wird.
So verwenden Sie diesen Trigonometrie-Rechner
- Wählen Sie die Funktion: sin, cos, tan oder deren Umkehrungen sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹.
- Wählen Sie die Winkeleinheit: Grad oder Bogenmaß. Diese gilt sowohl für die Winkeleingabe der direkten Funktionen als auch für den von den Umkehrfunktionen gelieferten Winkel.
- Geben Sie den Wert ein — einen Winkel bei sin, cos und tan oder ein Verhältnis bei den Umkehrfunktionen.
- Lesen Sie das Ergebnis ab sowie, wo anwendbar, den zugehörigen Kofunktionswert.
Die Formeln der trigonometrischen Verhältnisse
Die Umkehrfunktionen asin und acos setzen eine Eingabe zwischen −1 und 1 einschließlich voraus, da Sinus- und Kosinuswerte niemals außerhalb dieses Bereichs liegen.
Häufige Fehler
- Den Rechner in der falschen Winkeleinheit belassen (Grad statt Bogenmaß oder umgekehrt), wodurch ein völlig anderes, dem Zahlenwert nach jedoch durchaus plausibel wirkendes Ergebnis entsteht.
- Für Arkussinus oder Arkuskosinus einen Winkel eingeben statt eines Verhältnisses zwischen −1 und 1.
- Erwarten, dass tan(90°) eine große Zahl liefert statt des Hinweises, dass der Wert nicht definiert ist — mathematisch besitzt die Tangensfunktion dort eine senkrechte Asymptote.
- Eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion verwechseln, etwa sin verwenden, obwohl cos⁻¹ gemeint war.
Häufig gestellte Fragen
Wie groß ist sin(30°)?
Es gilt sin(30°) = 0,5 genau. Die zugehörige Kofunktion cos(30°) beträgt √3/2 ≈ 0,866025, im Einklang mit sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°).
Wie groß ist cos(45°)?
Es gilt cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707107, was genau sin(45°) entspricht, da 45° sein eigenes Komplement ist (90° − 45° = 45°).
Warum ist tan(90°) nicht definiert?
Der Tangens ist der Sinus geteilt durch den Kosinus, und es gilt cos(90°) = 0. Da die Division durch null nicht definiert ist, besitzt tan(90°) keinen endlichen Wert — die Tangensfunktion hat bei 90° und in jedem Abstand von 180° darüber hinaus eine senkrechte Asymptote.
Worin unterscheiden sich sin und sin⁻¹?
Die Funktion sin(θ) nimmt einen Winkel entgegen und liefert ein Verhältnis zwischen −1 und 1. Der Arkussinus sin⁻¹(x) kehrt dies um: Er nimmt ein Verhältnis zwischen −1 und 1 entgegen und liefert den zugehörigen Winkel.
Wie rechnet man zwischen Grad und Bogenmaß um?
Multiplizieren Sie Grad mit π/180, um das Bogenmaß zu erhalten, oder das Bogenmaß mit 180/π, um Grad zu erhalten. So ergibt etwa 60° × π/180 ungefähr 1,0472 im Bogenmaß.
Wie groß ist der Arkussinus von 0,5?
Der Arkussinus von 0,5 beträgt 30° (beziehungsweise π/6 im Bogenmaß), da sin(30°) = 0,5 gilt. Der Rechner weist überdies den komplementären Kofunktionswinkel aus, den Arkuskosinus von 0,5, der 60° beträgt, denn 30° + 60° = 90°.
Quellenangaben
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).