Định lý cosin so với định lý Pythagoras
Bảng dưới đây cho thấy định lý cosin biến đổi ra sao khi góc xen giữa thay đổi, với định lý Pythagoras là trường hợp đặc biệt tại 90°.
| Góc C | cos C | Ảnh hưởng lên c² |
|---|---|---|
| 90° (góc vuông) | 0 | c² = a² + b² (đúng bằng định lý Pythagoras) |
| < 90° (góc nhọn) | dương | c² < a² + b² (c ngắn hơn so với trường hợp góc vuông) |
| > 90° (góc tù) | âm | c² > a² + b² (c dài hơn so với trường hợp góc vuông) |
- Định lý cosin đúng với mọi tam giác, không riêng tam giác vuông — đó là trường hợp tổng quát, còn định lý Pythagoras là trường hợp đặc biệt tại 90°.
- Góc C phải nằm hẳn trong khoảng từ 0° đến 180°; tại mỗi biên, ba điểm trở nên thẳng hàng và không tồn tại tam giác nào.
Định lý cosin là gì?
Định lý cosin liên hệ ba cạnh của một tam giác với cosin của một trong các góc của nó: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Đây là dạng tổng quát của định lý Pythagoras — khi góc C đúng bằng 90°, cos C = 0 và công thức thu gọn thành c² = a² + b², chính là hệ thức Pythagoras quen thuộc.
Khi biết hai cạnh và góc xen giữa chúng (trường hợp SAS được dùng ở đây), định lý cosin cho ra cạnh thứ ba một cách trực tiếp; cũng công thức đó, sau khi biến đổi, sẽ tìm được hai góc còn lại.
Cách dùng máy tính định lý cosin này
- Nhập cạnh a và cạnh b, hai cạnh đã biết.
- Nhập góc C, góc xen giữa cạnh a và cạnh b, nằm hẳn trong khoảng từ 0° đến 180°.
- Đọc cạnh c (cạnh còn thiếu), góc A và góc B, cùng diện tích tam giác.
Công thức định lý cosin
Cùng một hệ thức nền tảng được biến đổi để giải ra một cạnh, hoặc để giải ra một góc khi đã biết cả ba cạnh.
Những lỗi thường gặp
- Nhập một góc không thực sự xen giữa cạnh a và cạnh b — định lý cosin đòi hỏi đúng góc xen giữa cho trường hợp SAS.
- Quên dấu trừ trong c² = a² + b² − 2ab·cos C, rất dễ bỏ sót khi góc là góc nhọn và cos C mang dấu dương.
- Dùng định lý cosin để tìm cạnh còn thiếu khi chỉ biết hai góc và một cạnh — trường hợp đó phải dùng định lý sin.
- Nhập góc C theo radian thay vì theo độ như yêu cầu.
Câu hỏi thường gặp
Công thức định lý cosin là gì?
c² = a² + b² − 2ab·cos C, trong đó C là góc xen giữa cạnh a và cạnh b, còn c là cạnh đối diện góc C.
Làm sao tìm một cạnh còn thiếu bằng định lý cosin?
Lấy căn bậc hai sau khi áp dụng công thức: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Với a = 5, b = 7 và C = 49°, c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
Làm sao tìm một góc bằng định lý cosin?
Biến đổi công thức để giải ra cosin, rồi lấy hàm cosin ngược: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Với a = 5, b = 7, c ≈ 5,2987, góc A ≈ 45,4117°.
Định lý cosin liên hệ thế nào với định lý Pythagoras?
Khi góc xen giữa C đúng bằng 90°, cos C = 0, và định lý cosin c² = a² + b² − 2ab·cos C thu gọn chính xác thành định lý Pythagoras, c² = a² + b².
Khi nào dùng định lý cosin thay vì định lý sin?
Dùng định lý cosin khi bạn biết ba cạnh (SSS) hoặc hai cạnh và góc xen giữa (SAS) — những trường hợp mà định lý sin không giải trực tiếp được. Dùng định lý sin khi bạn biết hai góc và một cạnh, hoặc hai cạnh và một góc không xen giữa.
Diện tích tam giác có hai cạnh 5 và 7 với góc xen giữa 49° bằng bao nhiêu?
Diện tích = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 đơn vị vuông.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).