Đường Tròn Đơn Vị: Hướng Dẫn Trực Quan Về Sin và Cosin

Tọa độ trên đường tròn đơn vị: (cos θ, sin θ)

Đường tròn đơn vị là đường tròn có bán kính đúng bằng 1, tâm tại gốc tọa độ (0,0) của mặt phẳng tọa độ. Với mọi góc θ, đo ngược chiều kim đồng hồ bắt đầu từ trục x dương, vẽ một tia từ gốc tọa độ theo góc đó và tìm giao điểm của nó với đường tròn sẽ được một điểm có hoành độ bằng cos(θ) và tung độ bằng sin(θ) -- trực tiếp, không cần nhân tỉ lệ gì thêm, bởi bán kính đường tròn bằng 1.

Đây chính là định nghĩa hình học nằm sau mọi đẳng thức lượng giác: cosin, theo định nghĩa, là hoành độ trên đường tròn đơn vị tại một góc cho trước, còn sin là tung độ. Tang suy ra trực tiếp từ tỉ số của hai giá trị đó: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ), về mặt hình học biểu thị hệ số góc của đường thẳng nối gốc tọa độ với điểm đó trên đường tròn.

Dấu theo góc phần tư: sin và cosin dương hay âm ở đâu

Mặt phẳng tọa độ được chia thành bốn góc phần tư bởi trục x và trục y, và vì sin và cosin chính là tung độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị, dấu của chúng trong mỗi góc phần tư suy ra trực tiếp từ dấu của tọa độ trong góc phần tư đó.

Quy luật này đôi khi được nhớ bằng câu ghi nhớ tiếng Anh «All Students Take Calculus», chỉ ra hàm nào dương trong mỗi góc phần tư khi đi ngược chiều kim đồng hồ từ góc phần tư I: All -- cả ba hàm đều dương ở góc phần tư I, Sine -- chỉ sin dương ở góc phần tư II, Tangent -- chỉ tang dương ở góc phần tư III, và Cosine -- chỉ cosin dương ở góc phần tư IV.

Góc tham chiếu: tìm giá trị chính xác ngoài góc phần tư I

Góc tham chiếu là góc nhọn, luôn nằm giữa 0 và 90 độ, tạo bởi cạnh cuối của một góc và điểm gần nhất trên trục x. Góc tham chiếu cho phép tìm chính xác sin, cosin hay tang của bất kỳ góc nào bằng cách quy nó về một trong năm góc chuẩn thuộc góc phần tư I, rồi áp dụng dấu đúng theo góc phần tư mà góc ban đầu thực sự nằm trong đó.

Ví dụ, góc 150 độ nằm ở góc phần tư II, và góc tham chiếu của nó là 180 - 150 = 30 độ. Vì sin dương ở góc phần tư II, sin(150 độ) bằng dương sin(30 độ) = 0,5. Cosin âm ở góc phần tư II, nên cos(150 độ) bằng âm cos(30 độ), xấp xỉ -0,8660. Góc tham chiếu cho ta độ lớn; góc phần tư cho ta dấu.

Bảng chuẩn 0/30/45/60/90 độ

Năm góc -- 0, 30, 45, 60 và 90 độ, đều thuộc góc phần tư I -- có giá trị sin và cosin biểu diễn được dưới dạng số chính xác thay vì các số thập phân dài, và chúng là nền tảng để tìm giá trị lượng giác chính xác tại mọi góc chuẩn khác thông qua góc tham chiếu. Bảng dưới đây liệt kê cả dạng chính xác lẫn giá trị thập phân gần đúng cho từng góc.

Hãy để ý tính đối xứng: các giá trị sin từ 0 đến 90 độ (0, 1/2, căn(2)/2, căn(3)/2, 1) chính là các giá trị cosin theo thứ tự ngược lại, hệ quả trực tiếp của việc sin và cosin là hai hàm bù nhau -- sin(θ) = cos(90 độ - θ) với mọi góc θ.

Góc đồng vị cuối và việc vượt quá một vòng quay

Các góc lớn hơn 360 độ, hoặc các góc âm, vẫn ứng với một điểm cụ thể trên đường tròn đơn vị -- chúng chỉ đơn giản quấn quanh đường tròn thêm một hoặc nhiều vòng. Góc đồng vị cuối là góc tương đương nằm trong một vòng quay từ 0 đến 360 độ, tìm được bằng cách cộng hoặc trừ các bội số của 360 độ cho đến khi kết quả rơi vào khoảng đó.

Ví dụ, góc 405 độ có góc đồng vị cuối là 405 - 360 = 45 độ, nghĩa là cả hai góc đều chỉ đúng một vị trí trên đường tròn đơn vị và do đó có cùng giá trị sin, cosin và tang. Tương tự, góc -30 độ có góc đồng vị cuối là -30 + 360 = 330 độ, nằm ở góc phần tư IV.

Câu hỏi thường gặp

Tài liệu tham khảo

1. Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
2. Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
3. Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).