Khi nào nên dùng định lý sin
Định lý sin áp dụng trực tiếp cho hai trường hợp giải tam giác; các trường hợp còn lại cần dùng định lý cosin.
| Dữ kiện đã biết | Phương pháp phù hợp nhất |
|---|---|
| Hai góc + một cạnh bất kỳ (AAS hoặc ASA) | Định lý sin — không nhập nhằng, nghiệm duy nhất |
| Hai cạnh + góc không xen giữa (SSA) | Định lý sin, nhưng phải kiểm tra trường hợp nhập nhằng (có thể 0, 1 hoặc 2 tam giác) |
| Ba cạnh (SSS) | Định lý cosin |
| Hai cạnh + góc xen giữa (SAS) | Định lý cosin |
- Chế độ nhập AAS/ASA của máy tính này (hai góc và một cạnh) luôn có đúng một nghiệm hợp lệ, nên trường hợp nhập nhằng SSA không xuất hiện ở đây.
- Ba góc của mọi tam giác phải có tổng đúng bằng 180°; nếu hai góc đã nhập có tổng từ 180° trở lên thì không tồn tại tam giác hợp lệ và máy tính sẽ không trả về kết quả.
Định lý sin là gì?
Định lý sin phát biểu rằng trong mọi tam giác, tỉ số giữa độ dài một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó là không đổi với cả ba cạnh: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Nhờ vậy, ta có thể tìm một cạnh hoặc một góc còn thiếu bất cứ khi nào biết đủ dữ kiện.
Khi biết hai góc và cạnh đối diện một trong hai góc đó (trường hợp AAS hoặc ASA được dùng ở đây), tam giác được xác định đầy đủ và duy nhất — khác với trường hợp SSA (hai cạnh và một góc không xen giữa), vốn đôi khi cho hai tam giác hợp lệ, một tam giác, hoặc không tam giác nào, gọi là trường hợp nhập nhằng.
Cách dùng máy tính định lý sin này
- Nhập góc A và độ dài cạnh a, tức cạnh đối diện góc A.
- Nhập góc B, góc đã biết thứ hai.
- Máy tính yêu cầu tổng góc A và góc B nhỏ hơn 180°, vì góc thứ ba (C) phải dương.
- Đọc cạnh b, góc C, cạnh c và diện tích tam giác, tất cả đều suy ra từ định lý sin.
Công thức định lý sin
Sau khi tìm được góc C từ tổng ba góc (180° − A − B), tỉ số a / sin A của định lý sin được dùng để tìm cả hai cạnh còn lại.
Những lỗi thường gặp
- Nhập cạnh a như thể nó đối diện góc B thay vì góc A — định lý sin ghép mỗi cạnh chặt chẽ với góc đối diện của nó.
- Nhập hai góc có tổng từ 180° trở lên, không còn chỗ cho một góc thứ ba hợp lệ.
- Nhầm định lý sin (tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện) với định lý cosin (dùng cho trường hợp SAS và SSS).
- Quên rằng các góc phải được nhập theo độ, không phải radian.
Câu hỏi thường gặp
Công thức định lý sin là gì?
a / sin A = b / sin B = c / sin C, trong đó mỗi cạnh được ghép với sin của góc nằm ngay đối diện nó.
Làm sao tìm một cạnh còn thiếu bằng định lý sin?
Lập tỉ số với cạnh và góc đã biết, rồi giải ra cạnh còn thiếu: b = (a × sin B) / sin A. Với A = 30°, a = 10 và B = 45°, cạnh b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0,707107) / 0,5 ≈ 14,1421.
Góc thứ ba bằng bao nhiêu nếu A = 30° và B = 45°?
Vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180°, góc C = 180° − 30° − 45° = 105°.
Trường hợp nhập nhằng trong định lý sin là gì?
Trường hợp nhập nhằng (SSA) xảy ra khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa — tùy theo các giá trị, có thể có không, một, hoặc hai tam giác khác nhau thỏa mãn số liệu đã cho. Trường hợp này không xuất hiện ở chế độ nhập AAS của máy tính, vốn luôn có đúng một nghiệm.
Làm sao tính diện tích tam giác bằng định lý sin?
Khi đã biết hai cạnh và góc xen giữa, diện tích = ½ × cạnh₁ × cạnh₂ × sin(góc xen giữa). Với a = 10, b ≈ 14,1421 và góc xen giữa C = 105°, diện tích = ½ × 10 × 14,1421 × sin(105°) ≈ 68,3013 đơn vị vuông.
Khi nào nên dùng định lý sin thay vì định lý cosin?
Dùng định lý sin khi bạn biết hai góc và một cạnh bất kỳ (AAS/ASA), hoặc hai cạnh và một góc không xen giữa (SSA). Dùng định lý cosin khi bạn biết ba cạnh (SSS) hoặc hai cạnh và góc xen giữa (SAS), vì định lý sin không giải trực tiếp được những trường hợp đó.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).