▦ Máy tính ma trận

Hiểu về định thức

Giá trị của định thức mang ý nghĩa hình học và đại số trực tiếp.

• Ma trận nghịch đảo chỉ được báo cho ma trận 2x2 có định thức khác 0. Ma trận suy biến (định thức bằng 0) không có nghịch đảo; chế độ 3x3 chỉ báo định thức và vết.
• Các phần tử phải được nhập theo thứ tự hàng và số lượng phải khớp chính xác với kích thước đã chọn: 4 phần tử cho 2x2, 9 phần tử cho 3x3.
• Vết bằng tổng các giá trị riêng, còn định thức bằng tích của chúng — hai đẳng thức chuẩn của đại số tuyến tính.
• Nói chung phép nhân ma trận không có tính giao hoán, nhưng đẳng thức A x A^-1 = A^-1 x A = I luôn đúng với mọi ma trận A khả nghịch.

Định thức, vết và ma trận nghịch đảo là gì?

Ma trận là một mảng số hình chữ nhật; ma trận vuông có số hàng bằng số cột. Định thức là một con số duy nhất tính từ ma trận vuông, cho biết ma trận có khả nghịch hay không và nó co giãn không gian ra sao: một phép biến đổi tuyến tính có định thức d sẽ nhân diện tích (2x2) hoặc thể tích (3x3) lên |d| lần, còn định thức âm cho thấy có phép phản chiếu (đảo hướng).

Một ma trận khả nghịch (không suy biến) đúng khi định thức của nó khác 0. Ma trận nghịch đảo A^-1 là ma trận triệt tiêu tác dụng của A: nhân A với A^-1 cho ra ma trận đơn vị. Khi định thức bằng 0, ma trận là suy biến — nó ép không gian xuống một đường thẳng hoặc một mặt phẳng — và không có nghịch đảo. Định thức cũng quyết định hệ tuyến tính Ax = b có nghiệm duy nhất hay không.

Vết là tổng các phần tử trên đường chéo chính (từ trên trái xuống dưới phải). Nó bằng tổng các giá trị riêng của ma trận và xuất hiện khắp đại số tuyến tính lẫn vật lý. Với ma trận 2x2, đa thức đặc trưng được xác định hoàn toàn bởi vết và định thức: lambda^2 - trace x lambda + det = 0.

Cách dùng máy tính ma trận này

1. Chọn kích thước ma trận: 2 x 2 (cần đúng 4 phần tử) hoặc 3 x 3 (cần đúng 9 phần tử).
2. Nhập các phần tử theo thứ tự hàng — hàng thứ nhất từ trái sang phải, rồi đến hàng thứ hai, và cứ thế. Với ma trận có các hàng (4, 7) và (2, 6), hãy nhập: 4; 7; 2; 6.
3. Đọc định thức và vết.
4. Với ma trận 2 x 2 có định thức khác 0, hãy đọc ma trận nghịch đảo, được hiển thị theo từng hàng dưới dạng [a, b; c, d]. Ma trận suy biến (định thức bằng 0) không có nghịch đảo, và chế độ 3 x 3 chỉ báo định thức cùng vết.

Công thức định thức, vết và ma trận nghịch đảo

Định thức 2x2: với ma trận có các hàng (a, b) và (c, d), det = ad - bc. Ví dụ minh họa với các hàng (4, 7) và (2, 6): det = 4 x 6 - 7 x 2 = 24 - 14 = 10. Vết bằng a + d = 4 + 6 = 10.

Nghịch đảo 2x2: khi det khác 0, A^-1 = (1/det) x [d, -b; -c, a] — hoán đổi hai phần tử đường chéo, đổi dấu hai phần tử ngoài đường chéo, rồi chia tất cả cho định thức. Với ví dụ trên: (1/10) x [6, -7; -2, 4] = [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]. Kiểm chứng: nhân ma trận ban đầu với nghịch đảo này cho ra ma trận đơn vị.

Định thức 3x3 (khai triển phần bù theo hàng đầu): với các hàng (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i), det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). Ví dụ minh họa với các hàng (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10): det = 1 x (5 x 10 - 6 x 8) - 2 x (4 x 10 - 6 x 7) + 3 x (4 x 8 - 5 x 7) = 1 x 2 - 2 x (-2) + 3 x (-3) = 2 + 4 - 9 = -3. Vết bằng 1 + 5 + 10 = 16.

Những lỗi thường gặp

• Nhập các giá trị theo thứ tự cột — máy tính này đọc các phần tử theo từng hàng, nên [4, 7, 2, 6] nghĩa là các hàng (4, 7) và (2, 6).
• Tính định thức 2x2 thành ad + bc thay vì ad - bc.
• Quên đổi dấu xen kẽ trong khai triển phần bù 3x3: số hạng giữa mang dấu trừ, det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
• Cố nghịch đảo một ma trận có định thức bằng 0 — ma trận suy biến không có nghịch đảo.
• Trong mẹo tính nghịch đảo 2x2, hoán đổi nhầm cặp phần tử: hai phần tử đường chéo a và d được hoán đổi, còn b và c giữ nguyên vị trí nhưng đổi dấu.

Câu hỏi thường gặp

Tài liệu tham khảo

1. Strang G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press (determinants, inverses and the trace).
2. Weisstein, Eric W. "Determinant" and "Matrix Inverse." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
3. Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra. Wiley (cofactor expansion and the adjugate formula).