🧮 Máy tính hệ phương trình

Hiểu nghiệm của hệ phương trình

Một hệ tuyến tính luôn rơi vào đúng một trong ba trường hợp, được quyết định bởi cách các đường thẳng (hoặc mặt phẳng) của các phương trình liên hệ với nhau về mặt hình học.

• Máy tính này báo cả trường hợp phụ thuộc lẫn trường hợp không tương thích là 'Không có nghiệm duy nhất', vì riêng phép khử Gauss không thể phân biệt hai trường hợp đó nếu không rút gọn hàng sâu hơn cho ma trận bổ sung; cả hai đều là kết cục hợp lệ khi ma trận hệ số suy biến.
• Kết quả số được làm tròn tới 6 chữ số thập phân. Với các hệ có hệ số là số nguyên hoặc phân số đơn giản, những số thập phân nhỏ khác 0 trong kết quả (ví dụ 1,999999 thay vì 2) phản ánh việc làm tròn dấu phẩy động thông thường và có thể coi như giá trị chính xác lân cận.
• Việc chọn phần tử trụ từng phần được dùng để giảm sai số số học, nhưng những hệ 'gần suy biến' (định thức rất gần 0) vẫn có thể cho kết quả nhạy cảm với thay đổi nhỏ ở dữ liệu vào — tính chất này gọi là điều kiện xấu trong đại số tuyến tính số.

Hệ phương trình tuyến tính là gì?

Hệ phương trình tuyến tính là tập hợp gồm hai phương trình tuyến tính trở lên cùng chia sẻ một bộ biến. Nghiệm của hệ là một bộ giá trị — mỗi biến một giá trị — làm cho mọi phương trình trong hệ đồng thời đúng. Về mặt hình học, một phương trình tuyến tính hai biến là một đường thẳng, và giải hệ 2×2 nghĩa là tìm giao điểm của hai đường thẳng. Một phương trình tuyến tính ba biến là một mặt phẳng trong không gian ba chiều, và hệ 3×3 tìm điểm mà ba mặt phẳng cùng đi qua.

Máy tính này biểu diễn mỗi phương trình thành một hàng của ma trận bổ sung: các hệ số của từng biến, tiếp theo là hằng số ở vế phải dấu bằng. Với hệ 2×2, bạn nhập sáu số theo thứ tự từng hàng — a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ — biểu diễn a₁x + b₁y = c₁ và a₂x + b₂y = c₂. Hệ 3×3 theo cùng quy tắc với mười hai số trải trên ba hàng, mỗi hàng bốn hệ số.

Bộ giải dùng phương pháp khử Gauss có chọn phần tử trụ từng phần, một phương pháp đại số tuyến tính số chuẩn mực, khử dần các biến theo từng hàng để đưa ma trận bổ sung về dạng đọc được trực tiếp từng ẩn. Việc chọn phần tử trụ từng phần — chọn hàng có hệ số lớn nhất theo giá trị tuyệt đối trong mỗi cột trước khi khử — giúp cải thiện độ ổn định số so với cách khử đơn giản.

Cách dùng máy tính hệ phương trình này

1. Chọn số ẩn: 2 cho hệ hai phương trình hai biến (x, y), hoặc 3 cho hệ ba phương trình ba biến (x, y, z).
2. Nhập các hệ số thành một danh sách phân tách bằng ; theo thứ tự từng hàng. Với hệ 2×2, nhập a₁; b₁; c₁; a₂; b₂; c₂ cho các phương trình a₁x + b₁y = c₁ và a₂x + b₂y = c₂ — tổng cộng sáu số.
3. Với hệ 3×3, nhập mười hai số: a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃ cho a₁x + b₁y + c₁z = d₁ và hai phương trình tiếp theo, vẫn cách nhau bằng ;.
4. Đọc các giá trị x, y đã giải (và z với hệ 3×3). Nếu hệ suy biến — các phương trình phụ thuộc hoặc mâu thuẫn nhau — máy tính sẽ báo 'Không có nghiệm duy nhất' thay vì các giá trị số.

Công thức đằng sau phép khử Gauss

Phép khử Gauss biến ma trận bổ sung [A | b] thành một dạng tương đương dễ giải hơn bằng các phép biến đổi hàng không làm thay đổi tập nghiệm: đổi chỗ hai hàng, nhân một hàng với hằng số khác 0, và cộng vào một hàng bội của hàng khác. Máy tính này khử tới dạng rút gọn rồi đọc nghiệm trực tiếp từ ma trận đường chéo thu được, đồng thời chọn phần tử trụ từng phần (chọn trụ lớn nhất có thể trong mỗi cột) để giảm sai số làm tròn dấu phẩy động.

Ví dụ minh họa (2×2): giải 2x + y = 5 và x − y = 1. Cộng hai phương trình sẽ khử y: 3x = 6, nên x = 2. Thế vào phương trình thứ hai: 2 − y = 1, nên y = 1. Kiểm tra lại: 2(2) + 1 = 5 ✓ và 2 − 1 = 1 ✓.

Một hệ là suy biến — không có nghiệm duy nhất — khi ma trận hệ số của nó có định thức bằng 0, tương đương với việc phép khử Gauss tạo ra một cột trụ chỉ chứa các phần tử bằng 0 (về mặt số học). Hệ suy biến hoặc là không tương thích (các phương trình mâu thuẫn nhau, ví dụ x + y = 2 và x + y = 5, dẫn tới vô nghiệm) hoặc là phụ thuộc (một phương trình là bội của phương trình khác, ví dụ x + y = 2 và 2x + 2y = 4, dẫn tới vô số nghiệm). Muốn biết rơi vào trường hợp nào thì phải xem xét trực tiếp các phương trình; máy tính này báo cả hai trường hợp là 'không có nghiệm duy nhất'.

Những lỗi thường gặp

• Nhập hệ số sai thứ tự từng hàng — máy tính chờ đợi các hệ số của mỗi phương trình rồi tới hằng số của nó, lần lượt theo hàng, chứ không phải theo cột.
• Quên rằng hệ 3×3 cần mười hai số (bốn số mỗi hàng), chứ không phải chín — phải kể cả số hạng tự do ở vế phải của mỗi phương trình.
• Dùng ; để ngăn cách các giá trị trong danh sách — dấu phẩy là dấu thập phân trong tiếng Việt, nên các giá trị phải phân tách bằng ;.
• Cho rằng 'không có nghiệm duy nhất' luôn nghĩa là vô nghiệm — nó cũng có thể nghĩa là có vô số nghiệm (hệ phụ thuộc); muốn phân biệt hai trường hợp thì phải kiểm tra các phương trình gốc bằng tay.
• Nhầm lẫn hằng số thuộc vế nào của phương trình — mọi số hạng chứa biến phải được chuyển sang vế trái và phương trình phải viết dưới dạng a₁x + b₁y (+ c₁z) = hằng số trước khi nhập hệ số.
• Trông đợi kết quả là phân số chính xác — kết quả là các xấp xỉ thập phân làm tròn tới sáu chữ số, nên nghiệm đúng 1/3 sẽ hiển thị là 0,333333.

Câu hỏi thường gặp

Tài liệu tham khảo

1. Strang G. Linear Algebra and Its Applications. 4th ed. Cengage Learning, 2006. (Gaussian elimination and matrix rank.)
2. Lay DC, Lay SR, McDonald JJ. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2015.
3. Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. 9th ed. Cengage Learning, 2011. (Partial pivoting and numerical stability.)