Hiểu bản xem trước dãy số
Dấu của công sai quyết định dãy tăng, giảm hay giữ nguyên, như minh họa dưới đây với số hạng đầu bằng 3.
| Công sai (d) | Đặc điểm | 5 số hạng đầu (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (ví dụ d = 4) | Dãy tăng | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Dãy hằng — mọi số hạng đều bằng a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (ví dụ d = −4) | Dãy giảm | 3, −1, −5, −9, −13 |
- Bản xem trước hiển thị tối đa 8 số hạng đầu; với n lớn hơn 8, dấu ba chấm (…) cho biết dãy còn tiếp tục vượt quá phần được hiển thị, song số hạng thứ n và tổng vẫn được tính chính xác cho toàn bộ n mà bạn đã nhập.
- Khác với cấp số nhân, cấp số cộng không có giới hạn trên cho việc các số hạng có thể lớn hay nhỏ tới đâu khi n tăng (trừ khi d = 0), và không tồn tại 'tổng tới vô cực' hữu hạn — tổng riêng Sₙ tăng vô hạn khi n tăng (với d ≠ 0).
Cấp số cộng là gì?
Cấp số cộng là một dãy số có thứ tự trong đó hiệu giữa mỗi số hạng và số hạng đứng trước nó luôn là cùng một hằng số, gọi là công sai (d). Ví dụ, 3, 7, 11, 15, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 4, vì mỗi số hạng lớn hơn số hạng trước đó 4 đơn vị.
Công sai có thể dương (dãy tăng), âm (dãy giảm), hoặc bằng 0 (dãy hằng, trong đó mọi số hạng đều bằng số hạng đầu). Cấp số cộng mô hình hóa mọi quá trình thay đổi cùng một lượng cố định ở mỗi bước, chẳng hạn kế hoạch tiết kiệm với các khoản gửi cố định bằng nhau, các hàng ghế có thêm một số ghế không đổi, hay đồng hồ đếm ngược giảm theo khoảng thời gian cố định.
Người ta thường hỏi hai đại lượng liên quan về một cấp số cộng: giá trị của một số hạng cụ thể (số hạng thứ n), và tổng của một dãy liên tiếp các số hạng (tổng riêng, đôi khi gọi là chuỗi cấp số cộng). Máy tính này tính cả hai từ cùng ba dữ liệu vào.
Cách dùng máy tính cấp số cộng này
- Nhập số hạng đầu của dãy (a₁) — giá trị khởi điểm.
- Nhập công sai (d) — lượng cố định cộng vào mỗi số hạng để ra số hạng kế tiếp. Dùng số âm cho dãy giảm.
- Nhập số số hạng (n) mà bạn muốn tìm số hạng thứ n và tổng.
- Đọc số hạng thứ n, tổng của n số hạng đầu tiên, và bản xem trước hiển thị tối đa 8 số hạng đầu của dãy.
Các công thức của cấp số cộng
Số hạng thứ n của một cấp số cộng được tìm bằng cách bắt đầu từ số hạng đầu rồi cộng công sai (n − 1) lần, vì bản thân số hạng đầu không cần cộng lần nào: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Ví dụ minh họa với a₁ = 3, d = 4, n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Tổng của n số hạng đầu tiên dựa vào việc ghép số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp chót, và cứ thế, mỗi cặp luôn cho cùng một tổng (a₁ + aₙ). Điều đó dẫn tới công thức tổng dạng đóng Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), tương đương Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Ví dụ minh họa: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Trong giai thoại toán học, công thức tổng này được gán cho cậu bé Carl Friedrich Gauss, người được kể là đã cộng các số nguyên từ 1 đến 100 bằng cách ghép 1+100, 2+99, và cứ thế, cho ra 50 cặp mà mỗi cặp có tổng bằng 101, tổng cộng là 5050 — chính logic ghép cặp đó là nền tảng của công thức tổng quát dùng ở đây.
Những lỗi thường gặp
- Dùng n thay vì (n − 1) trong công thức số hạng thứ n — số hạng đầu (n = 1) không cần cộng d lần nào, chứ không phải một lần, vì aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Nhầm công sai với công bội — cấp số cộng cộng thêm một lượng cố định ở mỗi bước; còn cấp số nhân thì nhân với một hệ số cố định.
- Cho rằng công thức tổng đòi hỏi phải liệt kê mọi số hạng — công thức dạng đóng Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) tính tổng trực tiếp mà không cần cộng từng số hạng một.
- Nhập số số hạng không nguyên — n phải là số nguyên dương biểu thị vị trí của một số hạng (thứ 1, thứ 2, thứ 3, …), chứ không phải một số đếm có phần lẻ.
Câu hỏi thường gặp
Tìm số hạng thứ n của một cấp số cộng như thế nào?
Dùng công thức aₙ = a₁ + (n − 1)d, trong đó a₁ là số hạng đầu, d là công sai, còn n là vị trí số hạng bạn cần. Với a₁ = 3, d = 4 và n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Tính tổng của một cấp số cộng như thế nào?
Dùng công thức Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), công thức này cộng n số hạng đầu tiên mà không cần cộng từng số hạng một. Với a₁ = 3, d = 4, n = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Cấp số cộng khác cấp số nhân ở chỗ nào?
Cấp số cộng có hiệu không đổi giữa hai số hạng liên tiếp (mỗi số hạng = số hạng trước + d). Cấp số nhân có tỷ số không đổi giữa hai số hạng liên tiếp (mỗi số hạng = số hạng trước × r). Cấp số cộng tăng tuyến tính; cấp số nhân tăng (hoặc thu hẹp) theo lũy thừa khi độ lớn của công bội khác 1.
Công sai có thể âm hoặc bằng 0 không?
Có. Công sai âm tạo ra một dãy giảm (ví dụ 10, 7, 4, 1, −2 với d = −3). Công sai bằng 0 tạo ra một dãy hằng, trong đó mọi số hạng đều bằng số hạng đầu. Cả hai đều là cấp số cộng hợp lệ.
Tìm công sai từ hai số hạng như thế nào?
Lấy số hạng liền sau trừ đi số hạng đang xét: d = aₙ₊₁ − aₙ. Nếu bạn chỉ biết hai số hạng không liên tiếp, aₘ và aₙ, hãy dùng d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Tài liệu tham khảo
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.