Hiểu kết quả lũy thừa
Dấu và độ lớn của số mũ quyết định bản chất của kết quả. Bảng dưới đây tóm tắt các trường hợp với cơ số lớn hơn 1.
| Số mũ | Kết quả (cơ số > 1) | Ví dụ |
|---|---|---|
| Số nguyên dương | Nhân lặp lại; tăng rất nhanh | 2^10 = 1024 |
| Không | Luôn bằng 1 với mọi cơ số khác không | 7^0 = 1 |
| Âm | Nghịch đảo của lũy thừa dương; nằm giữa 0 và 1 | 2^-3 = 0.125 |
| Phân số 1/n | Căn bậc n | 9^0.5 = 3 |
| Phân số, cơ số âm | Nói chung không phải số thực | (-8)^0,5 không xác định trong tập số thực |
- Phép lũy thừa không có tính giao hoán: 2^10 = 1024 nhưng 10^2 = 100.
- Lũy thừa chồng tầng theo quy ước được tính từ phải sang trái: 2^3^2 nghĩa là 2^(3^2) = 2^9 = 512, chứ không phải (2^3)^2 = 64.
- Các kết quả vượt quá khoảng 10^15 mất độ chính xác nguyên trong dấu phẩy động độ chính xác kép và được hiển thị bằng ký hiệu khoa học.
- 0^0 được hầu hết môi trường tính toán (kể cả công cụ này) coi bằng 1, dù trong một số ngữ cảnh toán học nó được để là không xác định.
Lũy thừa là gì?
Lũy thừa viết gọn phép nhân lặp lại: b^n nghĩa là cơ số b nhân với chính nó n lần khi n là số nguyên dương. Vậy 2^10 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024. Cơ số là số được đem nhân; số mũ (hay bậc, chỉ số) đếm số lần nhân.
Định nghĩa này mở rộng một cách nhất quán ra ngoài các số nguyên dương. Bất kỳ cơ số khác không nào nâng lên lũy thừa 0 đều bằng 1. Số mũ âm cho ra nghịch đảo: b^(-n) = 1 / b^n, nên 2^(-3) = 1/8 = 0,125. Số mũ phân số cho ra căn thức: b^(1/2) là căn bậc hai của b và b^(1/3) là căn bậc ba, nên 9^0,5 = 3. Những mở rộng này là bắt buộc nếu muốn quy tắc b^(m+n) = b^m x b^n tiếp tục đúng.
Lũy thừa phân số của cơ số âm nói chung không phải số thực — ví dụ, (-8)^0,5 sẽ là căn bậc hai của một số âm — nên công cụ này không trả về kết quả trong những trường hợp đó. Các kết quả rất lớn được hiển thị bằng ký hiệu khoa học, dạng chuẩn m x 10^k được dùng khắp khoa học và kỹ thuật.
Cách dùng máy tính lũy thừa này
- Nhập cơ số — số sẽ được nâng lên lũy thừa. Nó có thể âm hoặc là số thập phân.
- Nhập số mũ. Số mũ dương, âm, không và phân số đều được hỗ trợ.
- Đọc kết quả. Các giá trị có độ lớn vượt khoảng 10^15 được hiển thị bằng ký hiệu khoa học.
- Đọc dạng ký hiệu khoa học (m x 10^k, hiển thị dưới dạng chuỗi e-notation như 1.0240e+3), luôn được cung cấp để tham chiếu.
Các quy tắc lũy thừa
Các quy tắc cốt lõi: nhân các lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ, b^m x b^n = b^(m+n); chia thì trừ số mũ; nâng một lũy thừa lên lũy thừa thì nhân các số mũ, (b^m)^n = b^(mn); bất kỳ cơ số khác không nào mũ 0 đều bằng 1; số mũ âm nghĩa là nghịch đảo; và số mũ phân số 1/n nghĩa là căn bậc n.
Ví dụ minh họa: 2^10. Nhân mười thừa số 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 — vậy 2^10 = 1024. Trong ký hiệu khoa học, 1024 = 1,024 x 10^3, mà công cụ này hiển thị là 1.0240e+3.
Ví dụ số mũ âm: 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125. Ví dụ số mũ phân số: 9^0,5 = sqrt(9) = 3, và 8^(1/3) = 2 vì 2^3 = 8.
Những lỗi thường gặp
- Nhân cơ số với số mũ: 2^10 bằng 1024, chứ không phải 20.
- Coi số mũ âm là tạo ra một số âm — b^(-n) là nghịch đảo 1/b^n, và nó dương khi b dương.
- Nhầm -2^4 với (-2)^4: theo quy ước, phép lũy thừa được thực hiện trước phép lấy dấu âm, nên -2^4 = -16 trong khi (-2)^4 = 16.
- Cộng số mũ khi các cơ số khác nhau — quy tắc b^m x b^n = b^(m+n) chỉ áp dụng cho cùng một cơ số.
- Trông đợi một kết quả thực cho lũy thừa phân số của cơ số âm, chẳng hạn (-8)^0,5, vốn không phải số thực.
Câu hỏi thường gặp
2 mũ 10 bằng bao nhiêu?
2^10 = 1024. Đó là 2 nhân với chính nó mười lần, và trong ký hiệu khoa học nó được viết là 1.024 x 10^3. Các lũy thừa của 2 là nền tảng trong tin học: 2^10 byte là một kibibyte.
Số mũ âm nghĩa là gì?
Số mũ âm nghĩa là nghịch đảo của lũy thừa dương tương ứng: b^(-n) = 1 / b^n. Ví dụ, 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0.125. Kết quả của số mũ âm trên cơ số dương luôn luôn dương — nó nhỏ, chứ không âm.
Số mũ phân số nghĩa là gì?
Số mũ phân số biểu thị căn thức: b^(1/n) là căn bậc n của b, và b^(m/n) là căn bậc n của b^m. Ví dụ, 9^0,5 = sqrt(9) = 3 và 8^(2/3) = (căn bậc ba của 8)^2 = 2^2 = 4. Lũy thừa phân số của cơ số âm nói chung không phải số thực.
Vì sao mọi số mũ 0 đều bằng 1?
Điều đó suy ra từ quy tắc lũy thừa b^m / b^n = b^(m-n). Đặt m = n ta được b^m / b^m = b^0, mà bất kỳ số khác không nào chia cho chính nó đều bằng 1, nên b^0 = 1. Biểu thức 0^0 là trường hợp đặc biệt: hầu hết hệ thống tính toán đánh giá nó bằng 1, nhưng một số ngữ cảnh toán học để nó không xác định.
Ký hiệu khoa học là gì?
Ký hiệu khoa học viết một số dưới dạng m x 10^k, trong đó phần định trị m có một chữ số khác không trước dấu thập phân và k là số mũ nguyên của mười. Ví dụ, 1024 = 1,024 x 10^3 và 0,00052 = 5,2 x 10^-4. Nó giữ cho các số rất lớn và rất nhỏ vẫn dễ đọc và làm rõ bậc độ lớn; máy tính thường hiển thị nó ở dạng e-notation, ví dụ 1.0240e+3.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Exponent Laws." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (notation for powers and roots).
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (exponents, radicals and scientific notation).