Hiểu về hội tụ và phân kỳ
Việc một chuỗi cấp số nhân có hội tụ về tổng hữu hạn hay không khi ta cộng thêm số hạng phụ thuộc hoàn toàn vào độ lớn của công bội, như tóm tắt dưới đây.
| Công bội |r| | Đặc điểm của các số hạng | Tổng tới vô cực |
|---|---|---|
| |r| < 1 (ví dụ r = 0,5) | Các số hạng thu nhỏ dần về 0 | Hội tụ: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Các số hạng giữ nguyên độ lớn (hoặc đổi dấu luân phiên nếu r = −1) | Phân kỳ (không có tổng hữu hạn, trừ trường hợp tầm thường a₁ = 0) |
| |r| > 1 (ví dụ r = 3) | Độ lớn của các số hạng tăng vô hạn | Phân kỳ (không có tổng hữu hạn) |
- Bản xem trước hiển thị tối đa 8 số hạng đầu; với n lớn hơn 8, dấu ba chấm (…) cho biết còn những số hạng tiếp theo, song số hạng thứ n và tổng hữu hạn vẫn được tính chính xác cho toàn bộ n đã nhập.
- Kết quả tổng vô hạn chỉ được hiển thị khi |r| < 1; với mọi công bội khác, chuỗi không có tổng hữu hạn và máy tính sẽ nêu rõ điều đó thay vì đưa ra một con số gây hiểu lầm.
- Công bội đúng bằng 0 không tạo nên một cấp số nhân chuẩn mực (mọi số hạng sau số hạng đầu đều bằng 0), còn công bội âm tạo ra dãy đổi dấu luân phiên ở từng số hạng.
Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số có thứ tự trong đó mỗi số hạng sau số hạng đầu thu được bằng cách nhân số hạng liền trước với một hằng số, gọi là công bội (r). Ví dụ, 2, 6, 18, 54, 162 là một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 2 và công bội bằng 3, vì mỗi số hạng gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.
Khi |r| > 1, độ lớn của các số hạng tăng vô hạn (tăng trưởng lũy thừa); khi 0 < |r| < 1, các số hạng thu nhỏ dần về 0 (suy giảm lũy thừa); khi r = 1, mọi số hạng đều bằng số hạng đầu; và khi r âm, dấu của các số hạng đan xen nhau. Cấp số nhân mô hình hóa lãi kép, sự nhân đôi dân số, phân rã phóng xạ, và mọi quá trình trong đó một đại lượng bị nhân lặp đi lặp lại với cùng một hệ số.
Chuỗi cấp số nhân là tổng các số hạng của một cấp số nhân. Khác với chuỗi cấp số cộng, chuỗi cấp số nhân có thể có tổng hữu hạn ngay cả khi kéo dài tới vô số số hạng, miễn là giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1 thực sự — một tính chất không có ở cấp số cộng.
Cách dùng máy tính cấp số nhân này
- Nhập số hạng đầu của dãy (a₁) — giá trị khởi điểm.
- Nhập công bội (r) — hệ số cố định mà mỗi số hạng được nhân với để ra số hạng kế tiếp. Dùng giá trị nằm giữa −1 và 1 (khác 0) để thấy tổng vô hạn hội tụ.
- Nhập số số hạng (n) mà bạn muốn tìm số hạng thứ n và tổng riêng.
- Đọc số hạng thứ n, tổng của n số hạng đầu tiên, tổng tới vô cực (chỉ hiện khi |r| < 1), và bản xem trước tối đa 8 số hạng đầu.
Các công thức của cấp số nhân
Số hạng thứ n được tìm bằng cách nhân số hạng đầu với công bội lũy thừa (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). Ví dụ minh họa với a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Tổng của n số hạng đầu tiên dùng công thức dạng đóng Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) với r ≠ 1, được suy ra bằng cách trừ chính chuỗi đó cho một bản sao đã nhân hệ số của nó để triệt tiêu mọi số hạng trừ số hạng đầu và số hạng cuối. Khi r = 1, mọi số hạng đều bằng a₁, nên tổng đơn giản là Sₙ = a₁ × n. Ví dụ minh họa: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Khi |r| < 1, số hạng rⁿ thu nhỏ dần về 0 khi n tăng vô hạn, nên công thức tổng riêng hội tụ về một giới hạn hữu hạn: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Ví dụ, với a₁ = 8 và r = 0,5, S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16 — tổng vô hạn của 8, 4, 2, 1, 0,5, … tiến tới nhưng không bao giờ vượt quá 16. Khi |r| ≥ 1, tổng vô hạn phân kỳ (không có giá trị hữu hạn) và máy tính này không báo con số nào.
Những lỗi thường gặp
- Dùng n thay vì (n − 1) làm số mũ — số hạng đầu (n = 1) là a₁ × r⁰ = a₁, chứ không phải a₁ × r¹, nên số mũ luôn là (n − 1).
- Áp dụng công thức tổng vô hạn khi |r| ≥ 1 — trong trường hợp đó chuỗi phân kỳ và không có tổng hữu hạn; công thức a₁ ÷ (1 − r) chỉ áp dụng khi |r| < 1.
- Nhầm công bội với công sai — cấp số nhân nhân với r ở mỗi bước; còn cấp số cộng thì cộng thêm d ở mỗi bước.
- Quên rằng công bội âm tạo ra dãy đan dấu (ví dụ 2, −6, 18, −54 với a₁ = 2, r = −3), điều mà một số người học lầm tưởng là lỗi thay vì là hành vi đúng như mong đợi.
Câu hỏi thường gặp
Tìm số hạng thứ n của một cấp số nhân như thế nào?
Dùng công thức aₙ = a₁ × r^(n−1), trong đó a₁ là số hạng đầu, r là công bội, còn n là vị trí số hạng. Với a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Tính tổng của một chuỗi cấp số nhân như thế nào?
Với số số hạng hữu hạn, dùng Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) khi r ≠ 1. Với a₁ = 2, r = 3, n = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Với chuỗi cấp số nhân vô hạn có |r| < 1, hãy dùng S∞ = a₁ ÷ (1 − r) thay thế.
Khi nào một chuỗi cấp số nhân vô hạn có tổng?
Chuỗi cấp số nhân vô hạn chỉ hội tụ về một tổng hữu hạn khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1 thực sự (|r| < 1). Khi đó, S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Nếu |r| ≥ 1, các số hạng không thu nhỏ dần về 0, nên tổng tăng vô hạn và chuỗi phân kỳ.
Cấp số nhân khác cấp số cộng ở chỗ nào?
Cấp số nhân nhân với một công bội không đổi (r) để ra số hạng kế tiếp, tạo nên tăng trưởng hoặc suy giảm lũy thừa. Cấp số cộng cộng thêm một công sai không đổi (d) để ra số hạng kế tiếp, tạo nên tăng trưởng hoặc suy giảm tuyến tính. Nói chung một dãy không thể vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân, trừ khi công bội bằng 1 (dãy hằng).
Công bội có thể âm không?
Có. Công bội âm tạo ra một dãy đan dấu, trong đó dấu đổi ở mỗi số hạng. Ví dụ, a₁ = 2 và r = −3 cho 2, −6, 18, −54, 162, luân phiên giữa giá trị dương và âm mà vẫn tuân theo aₙ = a₁ × r^(n−1).
Tài liệu tham khảo
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)