Hiểu kết quả lôgarit
Ba cơ số chuẩn trả lời những câu hỏi khác nhau về cùng một số. Bảng dưới đây trình bày chúng cho x = 100.
| Lôgarit | Cơ số | Giá trị khi x = 100 | Ứng dụng điển hình |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2.71828... | 4.60517 | Giải tích, tăng trưởng và phân rã liên tục |
| log10 | 10 | 2 | Ký hiệu khoa học, decibel, pH, bậc độ lớn |
| log2 | 2 | 6.643856 | Khoa học máy tính, lý thuyết thông tin (bit) |
- Lôgarit không xác định với số không và số âm, và cơ số phải dương và khác 1.
- log_b(1) = 0 với mọi cơ số, vì b^0 = 1; và log_b(b) = 1, vì b^1 = b.
- Lôgarit mang giá trị âm khi số đầu vào nằm giữa 0 và 1 — ví dụ, log_10(0,01) = -2.
- Ký hiệu khác nhau tùy lĩnh vực: trong toán học, 'log' không ghi cơ số thường có nghĩa là ln, còn trong kỹ thuật và trên hầu hết máy tính cầm tay nó có nghĩa là log10. Tiêu chuẩn ISO 80000-2 khuyến nghị dùng các ký hiệu tường minh ln, lg và lb.
Lôgarit là gì?
Lôgarit của một số x theo cơ số b, viết là log_b(x), là số mũ mà b phải được nâng lên để thu được x: nếu b^y = x thì log_b(x) = y. Ví dụ, log_10(100) = 2 vì 10^2 = 100, và log_2(8) = 3 vì 2^3 = 8. Lôgarit là phép toán ngược của lũy thừa.
Ba cơ số chiếm ưu thế trong thực tế. Lôgarit tự nhiên (ln) dùng cơ số e (xấp xỉ 2,71828) và là chuẩn mực trong giải tích, các mô hình tăng trưởng và phân rã, cùng các ngành khoa học. Lôgarit thập phân (log10) là nền tảng của ký hiệu khoa học và các thang đo như decibel và pH. Lôgarit nhị phân (log2) được dùng khắp khoa học máy tính, từ phân tích thuật toán tới lý thuyết thông tin, nơi nó đo số bit.
Lôgarit chỉ được định nghĩa cho các số dương, và cơ số phải dương và khác 1. Không có số thực y nào để b^y bằng không hoặc âm, đó là lý do log(0) và lôgarit của số âm không xác định, còn cơ số bằng 1 thì không dùng được vì 1 nâng lên lũy thừa bất kỳ luôn bằng 1.
Cách dùng máy tính lôgarit này
- Nhập số x mà bạn muốn lấy lôgarit. Số này phải dương.
- Nhập cơ số b. Nó phải dương và khác 1; các lựa chọn phổ biến là 10, 2 và e (xấp xỉ 2,71828).
- Đọc lôgarit cơ số b của x, được tính bằng công thức đổi cơ số.
- So sánh với lôgarit tự nhiên, thập phân và nhị phân của cùng số đó, được hiển thị bên cạnh.
Công thức đổi cơ số
Mọi lôgarit đều có thể tính từ lôgarit theo một cơ số khác: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Đồng nhất thức đổi cơ số này là cách máy tính đánh giá lôgarit theo cơ số tùy ý chỉ bằng lôgarit tự nhiên.
Ví dụ minh họa: log_2(8). Tính ln(8) = 2,079442 và ln(2) = 0,693147; thương của chúng là 2,079442 / 0,693147 = 3. Kiểm tra: 2^3 = 8. Ví dụ khác: log_10(100) = 2, vì 10^2 = 100; với cùng dữ liệu nhập, công cụ cũng cho ln(100) = 4,60517 và log_2(100) = 6,643856.
Các đồng nhất thức đại số then chốt suy ra từ định nghĩa: lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); lôgarit của một thương bằng hiệu; và lôgarit của một lũy thừa đưa số mũ ra phía trước, log_b(x^k) = k log_b(x). Những quy tắc này biến phép nhân thành phép cộng, chính là động lực ban đầu để lập bảng lôgarit.
Những lỗi thường gặp
- Lấy lôgarit của số không hoặc số âm — lôgarit chỉ được định nghĩa cho đầu vào dương.
- Cho rằng log(x + y) bằng log(x) + log(y); quy tắc cộng áp dụng cho tích chứ không phải tổng: log(xy) = log(x) + log(y).
- Nhầm lẫn 'log' chỉ cơ số nào: nhiều máy tính và ngôn ngữ lập trình khác nhau (trong JavaScript, Math.log là lôgarit tự nhiên).
- Viết log_b(x^k) thành (log_b x)^k — quy tắc lũy thừa đưa số mũ ra ngoài làm hệ số nhân, chứ không đặt lên chính lôgarit.
- Dùng cơ số 1, với cơ số này không tồn tại lôgarit, vì 1 nâng lên lũy thừa bất kỳ đều bằng 1.
Câu hỏi thường gặp
Lôgarit cơ số 10 của 100 bằng bao nhiêu?
log_10(100) = 2, vì 10 nâng lên lũy thừa 2 bằng 100. Lôgarit thập phân đếm số thừa số mười, nên log_10(1000) = 3 và log_10(0,01) = -2.
Làm sao tính lôgarit theo cơ số mà máy tính của tôi không có?
Dùng công thức đổi cơ số: log_b(x) = ln(x) / ln(b), hoặc tương đương log_10(x) / log_10(b). Ví dụ, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, và quả thực 5^3 = 125.
Khác biệt giữa ln và log là gì?
ln luôn chỉ lôgarit tự nhiên, cơ số e (xấp xỉ 2,71828). 'log' thì mơ hồ: trong toán học thuần túy nó thường có nghĩa là lôgarit tự nhiên, còn trong kỹ thuật, hóa học và trên hầu hết máy tính cầm tay nó có nghĩa là cơ số 10. Tiêu chuẩn ISO 80000-2 khuyến nghị viết ln cho cơ số e, lg cho cơ số 10 và lb cho cơ số 2 để tránh nhập nhằng.
Vì sao không thể lấy lôgarit của số âm?
Vì không có lũy thừa thực nào của một cơ số dương lại cho kết quả âm: b^y luôn dương với mọi y thực khi b > 0. Do đó log_b(x) không có giá trị thực khi x <= 0. (Trong giải tích phức, lôgarit của số âm có thể được định nghĩa, nhưng chúng đa trị và nằm ngoài phạm vi của các máy tính giá trị thực.)
log2 được dùng để làm gì?
Lôgarit nhị phân log_2 đo cần bao nhiêu lần nhân đôi để đạt tới một số, điều này khiến nó trở nên cơ bản trong khoa học máy tính: tìm kiếm nhị phân trên n phần tử đã sắp xếp tốn khoảng log_2(n) bước, và log_2 cho biết số bit cần để biểu diễn n giá trị phân biệt. Ví dụ, log_2(1024) = 10, nên 10 bit định địa chỉ được 1.024 giá trị.
Thang lôgarit nghĩa là gì?
Thang lôgarit sắp xếp các giá trị theo tỷ lệ bằng nhau thay vì hiệu bằng nhau: mỗi bước nhân với một hệ số không đổi. Decibel, thang độ lớn Richter và pH đều là thang lôgarit — tăng 1 đơn vị pH nghĩa là nồng độ ion hydro giảm mười lần. Thang lôgarit giúp các đại lượng trải dài nhiều bậc độ lớn có thể đọc được trên cùng một trục.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).