Công thức nghiệm bậc hai đến từ đâu
Công thức nghiệm bậc hai được suy ra từ phương trình tổng quát ax^2 + bx + c = 0 (với a khác không) bằng kỹ thuật gọi là hoàn thành bình phương. Chia mọi số hạng cho a ta được x^2 + (b/a)x + c/a = 0, rồi chuyển hằng số sang vế kia ta có x^2 + (b/a)x = -c/a. Cộng (b/2a)^2 vào cả hai vế biến vế trái thành một bình phương hoàn hảo: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
Rút gọn vế phải về cùng mẫu số cho (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Lấy căn bậc hai hai vế (và chấp nhận cả căn dương lẫn căn âm) cho x + b/2a = cộng hoặc trừ căn bậc hai của (b^2 - 4ac) / (2a), và tách riêng x ra sẽ có công thức quen thuộc: x = (-b cộng hoặc trừ căn bậc hai của b^2 - 4ac) / (2a). Mọi bước đều là biến đổi đại số thuận nghịch, và đó là lý do công thức đúng với mọi phương trình bậc hai có hệ số bậc cao nhất khác không, chứ không chỉ những phương trình phân tích thành nhân tử đẹp đẽ.
Biệt thức: điều nó cho bạn biết trước khi giải
Biểu thức dưới dấu căn, b^2 - 4ac, được gọi là biệt thức, và chỉ riêng dấu của nó đã quyết định phương trình có loại nghiệm nào mà không cần tính ra nghiệm. Biệt thức dương nghĩa là căn bậc hai là một số thực dương, nên dấu cộng-trừ tạo ra hai giá trị thực phân biệt của x. Biệt thức đúng bằng không nghĩa là số hạng chứa căn triệt tiêu hoàn toàn, nên cả trường hợp cộng lẫn trường hợp trừ đều thu về một giá trị duy nhất x = -b / (2a).
Biệt thức âm nghĩa là biểu thức dưới dấu căn âm, và nó không có căn bậc hai thực -- chỉ có căn ảo, vì căn bậc hai của một số âm được định nghĩa là một số thực nhân với i, trong đó i là đơn vị ảo thỏa mãn i^2 = -1. Trong trường hợp này công thức vẫn cho ra hai kết quả, nhưng chúng là một cặp phức liên hợp dạng p + qi và p - qi thay vì các số thực.
| Biệt thức (b^2 - 4ac) | Số lượng và loại nghiệm | Parabol biểu hiện ra sao |
|---|---|---|
| Dương (> 0) | Hai nghiệm thực phân biệt | Cắt trục x tại hai điểm |
| Bằng không (= 0) | Một nghiệm thực kép, x = -b / (2a) | Chạm trục x đúng một điểm (đỉnh parabol) |
| Âm (< 0) | Hai nghiệm phức liên hợp, p ± qi | Không bao giờ chạm hay cắt trục x |
Ví dụ 1: hai nghiệm thực phân biệt (D > 0)
Giải x^2 - 3x + 2 = 0. Ở đây a = 1, b = -3, c = 2. Biệt thức là (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, là số dương, nên dự kiến có hai nghiệm thực phân biệt. Áp dụng công thức: x = (3 cộng hoặc trừ căn bậc hai của 1) / (2 x 1) = (3 cộng hoặc trừ 1) / 2. Từ đó x1 = (3 + 1) / 2 = 2 và x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Có thể kiểm tra các nghiệm này bằng cách phân tích phương trình gốc thành nhân tử: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), biểu thức này bằng không đúng khi x = 1 hoặc x = 2, xác nhận kết quả của công thức. Một cách kiểm tra khác dùng định lý Vi-ét: tổng hai nghiệm phải bằng -b/a = 3, và quả thật 2 + 1 = 3; tích hai nghiệm phải bằng c/a = 2, và quả thật 2 x 1 = 2.
Ví dụ 2: một nghiệm thực kép (D = 0)
Giải x^2 - 4x + 4 = 0. Ở đây a = 1, b = -4, c = 4. Biệt thức là (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, nên dự kiến có một nghiệm kép duy nhất. Vì biệt thức bằng không, công thức rút gọn thẳng thành x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Phương trình này phân tích thành (x - 2)^2 = 0, xác nhận x = 2 là nghiệm duy nhất, được tính hai lần (bội 2). Về mặt hình học, parabol y = x^2 - 4x + 4 chỉ chạm trục x tại đỉnh của nó, điểm (2, 0), chứ không cắt qua -- dấu hiệu trực quan của biệt thức bằng không.
Ví dụ 3: hai nghiệm phức liên hợp (D < 0)
Giải x^2 + 2x + 5 = 0. Ở đây a = 1, b = 2, c = 5. Biệt thức là 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, là số âm, nên không tồn tại nghiệm thực. Áp dụng công thức: x = (-2 cộng hoặc trừ căn bậc hai của -16) / (2 x 1). Căn bậc hai của -16 là 4i, vì (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16, nên x = (-2 cộng hoặc trừ 4i) / 2 = -1 cộng hoặc trừ 2i.
Vậy hai nghiệm là -1 + 2i và -1 - 2i, một cặp phức liên hợp -- nghĩa là chúng có cùng phần thực (-1) và phần ảo trái dấu nhau. Parabol y = x^2 + 2x + 5 nằm hoàn toàn phía trên trục x (giá trị nhỏ nhất của nó, tại x = -1, bằng 4), và đó là lý do đồ thị không bao giờ cắt trục hoành nên phương trình không có nghiệm thực.
Câu hỏi thường gặp
Công thức nghiệm phương trình bậc hai là gì?
Công thức nghiệm bậc hai giải mọi phương trình dạng ax^2 + bx + c = 0, với a khác không, và phát biểu rằng x = (-b cộng hoặc trừ căn bậc hai của b^2 - 4ac), tất cả chia cho 2a. Nó được suy ra bằng cách hoàn thành bình phương trên phương trình bậc hai tổng quát và đúng với mọi phương trình bậc hai, dù có phân tích được thành nhân tử nguyên hay không.
Biệt thức cho bạn biết điều gì?
Biệt thức, b^2 - 4ac, là biểu thức nằm dưới dấu căn trong công thức nghiệm bậc hai, và dấu của nó cho biết loại nghiệm trước khi giải. Biệt thức dương nghĩa là hai nghiệm thực phân biệt, biệt thức bằng không nghĩa là một nghiệm thực kép tại x = -b/(2a), còn biệt thức âm nghĩa là hai nghiệm phức liên hợp và không có nghiệm thực.
Giải phương trình bậc hai có nghiệm phức như thế nào?
Khi biệt thức b^2 - 4ac âm, hãy lấy căn bậc hai của giá trị tuyệt đối của nó rồi gắn thêm đơn vị ảo i. Với x^2 + 2x + 5 = 0, biệt thức là -16, và căn bậc hai của -16 là 4i, cho các nghiệm x = (-2 cộng hoặc trừ 4i) / 2 = -1 cộng hoặc trừ 2i -- một cặp phức liên hợp.
Công thức nghiệm bậc hai bắt nguồn từ đâu?
Nó bắt nguồn từ việc hoàn thành bình phương trên phương trình tổng quát ax^2 + bx + c = 0. Chia cho a, tách riêng hằng số, rồi cộng (b/2a)^2 vào cả hai vế sẽ biến vế trái thành một bình phương hoàn hảo, (x + b/2a)^2. Lấy căn bậc hai hai vế và tách x ra cho x = (-b cộng hoặc trừ căn bậc hai của b^2 - 4ac) / (2a).
Phương trình bậc hai có thể chỉ có đúng một nghiệm không?
Có, khi biệt thức đúng bằng không. Khi đó dấu cộng-trừ trong công thức thu về một giá trị duy nhất, x = -b / (2a), gọi là nghiệm kép. Ví dụ, x^2 - 4x + 4 = 0 có biệt thức 16 - 16 = 0 và nghiệm kép duy nhất x = 2, vì phương trình phân tích thành (x - 2)^2 = 0.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).