Interpretare il determinante
Il valore del determinante porta con sé un significato geometrico e algebrico immediato.
| Determinante | Significato |
|---|---|
| det != 0 | La matrice è invertibile; il sistema lineare Ax = b ha un'unica soluzione |
| det = 0 | La matrice è singolare; non esiste inversa; righe e colonne sono linearmente dipendenti |
| |det| > 1 | La trasformazione dilata aree (2x2) o volumi (3x3) del fattore |det| |
| |det| < 1 | La trasformazione contrae aree o volumi |
| det < 0 | La trasformazione inverte l'orientamento (comprende una riflessione) |
- L'inversa viene riportata per le matrici 2x2 con determinante diverso da zero. Una matrice singolare (determinante 0) non ha inversa; la modalità 3x3 riporta soltanto determinante e traccia.
- Le voci vanno fornite in ordine per righe e il loro numero deve corrispondere esattamente alla dimensione scelta: 4 voci per una 2x2 e 9 per una 3x3.
- La traccia è pari alla somma degli autovalori e il determinante al loro prodotto: due identità standard dell'algebra lineare.
- La moltiplicazione fra matrici in generale non è commutativa, ma per ogni A invertibile vale sempre A x A^-1 = A^-1 x A = I.
Che cosa sono determinante, traccia e inversa di una matrice?
Una matrice è una tabella rettangolare di numeri; una matrice quadrata ha tante righe quante colonne. Il determinante è un singolo numero calcolato da una matrice quadrata che indica se la matrice sia invertibile e in che misura riscali lo spazio: una trasformazione lineare con determinante d moltiplica le aree (2x2) o i volumi (3x3) per |d|, mentre un determinante negativo segnala una riflessione, ossia un'inversione di orientamento.
Una matrice è invertibile (non singolare) esattamente quando il suo determinante è diverso da zero. L'inversa A^-1 è la matrice che annulla A: moltiplicando A per A^-1 si ottiene la matrice identità. Quando il determinante è nullo la matrice è singolare — comprime lo spazio su una retta o su un piano — e non esiste alcuna inversa. I determinanti stabiliscono inoltre se un sistema lineare Ax = b abbia un'unica soluzione.
La traccia è la somma delle voci sulla diagonale principale (dall'alto a sinistra al basso a destra). Coincide con la somma degli autovalori della matrice e compare ovunque in algebra lineare e in fisica. Per una matrice 2x2 il polinomio caratteristico è determinato interamente da traccia e determinante: lambda^2 - traccia x lambda + det = 0.
Come usare questo calcolatore di matrici
- Scegli la dimensione della matrice: 2 x 2 (richiede esattamente 4 voci) oppure 3 x 3 (richiede esattamente 9 voci).
- Inserisci le voci in ordine per righe: prima riga da sinistra a destra, poi la seconda e così via. Per la matrice con righe (4, 7) e (2, 6) inserisci: 4; 7; 2; 6.
- Leggi il determinante e la traccia.
- Per una matrice 2 x 2 con determinante diverso da zero, leggi l'inversa, mostrata riga per riga nella forma [a, b; c, d]. Le matrici singolari (determinante 0) non hanno inversa e la modalità 3 x 3 riporta soltanto determinante e traccia.
Le formule di determinante, traccia e inversa
Determinante 2x2: per la matrice con righe (a, b) e (c, d) vale det = ad - bc. Esempio svolto con righe (4, 7) e (2, 6): det = 4 x 6 - 7 x 2 = 24 - 14 = 10. La traccia è a + d = 4 + 6 = 10.
Inversa 2x2: quando det è diverso da zero, A^-1 = (1/det) x [d, -b; -c, a], ossia si scambiano le voci diagonali, si cambiano di segno quelle fuori diagonale e si divide tutto per il determinante. Nell'esempio: (1/10) x [6, -7; -2, 4] = [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]. Verifica: moltiplicando la matrice originale per questa inversa si ottiene la matrice identità.
Determinante 3x3 (sviluppo per cofattori lungo la prima riga): per le righe (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i) vale det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). Esempio svolto con righe (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10): det = 1 x (5 x 10 - 6 x 8) - 2 x (4 x 10 - 6 x 7) + 3 x (4 x 8 - 5 x 7) = 1 x 2 - 2 x (-2) + 3 x (-3) = 2 + 4 - 9 = -3. La traccia è 1 + 5 + 10 = 16.
Errori comuni
- Inserire i valori per colonne: questo calcolatore legge le voci riga per riga, dunque [4, 7, 2, 6] indica le righe (4, 7) e (2, 6).
- Calcolare il determinante 2x2 come ad + bc anziché ad - bc.
- Dimenticare l'alternanza dei segni nello sviluppo per cofattori di una 3x3: il termine centrale va sottratto, ossia det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
- Tentare di invertire una matrice con determinante 0: le matrici singolari non ammettono inversa.
- Nella scorciatoia per l'inversa 2x2, scambiare la coppia sbagliata: si scambiano le voci diagonali a e d, mentre b e c restano al loro posto ma cambiano segno.
Domande frequenti
Come si calcola il determinante di una matrice 2x2?
Per la matrice con righe (a, b) e (c, d) il determinante è ad - bc: si moltiplica la diagonale principale, si moltiplica quella secondaria e si sottrae. Per le righe (4, 7) e (2, 6) si ha det = 4 x 6 - 7 x 2 = 24 - 14 = 10.
Come si trova l'inversa di una matrice 2x2?
Se il determinante ad - bc è diverso da zero, si scambiano le voci diagonali, si cambiano di segno quelle fuori diagonale e si divide ogni voce per il determinante: A^-1 = (1/(ad - bc)) x [d, -b; -c, a]. Per le righe (4, 7) e (2, 6), con determinante 10, l'inversa è [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]. Se il determinante è nullo, l'inversa non esiste.
Che cosa significa un determinante uguale a zero?
Un determinante nullo indica che la matrice è singolare: le sue righe (e colonne) sono linearmente dipendenti, la trasformazione che rappresenta comprime lo spazio in una dimensione inferiore e non esiste alcuna inversa. Un sistema lineare con matrice dei coefficienti singolare non ha soluzioni oppure ne ha infinite, mai esattamente una.
Che cos'è la traccia di una matrice?
La traccia è la somma delle voci sulla diagonale principale, dall'alto a sinistra al basso a destra. Per le righe (4, 7) e (2, 6) la traccia è 4 + 6 = 10. Coincide con la somma degli autovalori della matrice, il che la rende un invariante rapido usato in algebra lineare, geometria e fisica.
Come si calcola un determinante 3x3?
Con lo sviluppo per cofattori lungo la prima riga: det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) per le righe (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i). Ogni voce della prima riga moltiplica il determinante della matrice 2x2 che resta cancellando la sua riga e la sua colonna, con segni alternati +, -, +. Per le righe (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10) si ottiene 2 + 4 - 9 = -3.
Perché il calcolatore non mostra l'inversa di una 3x3?
Invertire una matrice 3x3 richiede l'intera matrice aggiunta (la trasposta della matrice dei cofattori) divisa per il determinante, ossia nove calcoli di cofattori che esulano dallo scopo di questo strumento. Il calcolatore riporta determinante e traccia per le matrici 3x3 e l'inversa completa per le 2x2 non singolari.
Fonti
- Strang G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press (determinants, inverses and the trace).
- Weisstein, Eric W. "Determinant" and "Matrix Inverse." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra. Wiley (cofactor expansion and the adjugate formula).