Come interpretare la soluzione del tuo sistema
Un sistema lineare ricade sempre in una sola di tre categorie, determinata dal modo in cui le rette (o i piani) delle equazioni si dispongono geometricamente.
| Caso | Significato geometrico (2×2) | Numero di soluzioni |
|---|---|---|
| Indipendente, compatibile | Due rette si intersecano in un solo punto | Una sola soluzione unica |
| Dipendente | Le due equazioni descrivono la stessa retta | Infinite soluzioni |
| Incompatibile | Le due rette sono parallele e non si incontrano mai | Nessuna soluzione |
- Il calcolatore segnala sia il caso dipendente sia quello incompatibile come «Nessuna soluzione unica», poiché la sola eliminazione di Gauss non permette di distinguerli senza un'ulteriore riduzione della matrice completa; entrambi sono esiti pienamente validi quando la matrice dei coefficienti è singolare.
- I risultati numerici sono arrotondati a 6 cifre decimali. Nei sistemi con coefficienti interi o frazioni semplici, piccoli decimali non nulli nell'output (per esempio 1,999999 invece di 2) riflettono il normale arrotondamento in virgola mobile e vanno letti come il valore esatto più vicino.
- Il pivoting parziale riduce l'errore numerico, tuttavia i sistemi «quasi singolari» (con determinante molto vicino a zero) possono comunque dare risultati sensibili a minime variazioni dei dati in ingresso: è il fenomeno che l'algebra lineare numerica chiama malcondizionamento.
Che cos'è un sistema di equazioni lineari?
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni lineari che condividono le stesse incognite. Una soluzione del sistema è una serie di valori — uno per ciascuna incognita — che rende vere tutte le equazioni nello stesso momento. Dal punto di vista geometrico, un'equazione lineare in due incognite rappresenta una retta, e risolvere un sistema 2×2 significa trovare il punto in cui due rette si intersecano. Un'equazione lineare in tre incognite rappresenta invece un piano nello spazio tridimensionale, e un sistema 3×3 individua il punto in cui tre piani si incontrano.
Questo calcolatore rappresenta ogni equazione come una riga della matrice completa: i coefficienti delle incognite seguiti dal termine noto che sta a destra del segno di uguale. Per un sistema 2×2 si inseriscono sei numeri, riga per riga — a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ — corrispondenti a a₁x + b₁y = c₁ e a₂x + b₂y = c₂. Un sistema 3×3 segue lo stesso schema con dodici numeri distribuiti su tre righe da quattro coefficienti ciascuna.
Il risolutore adotta l'eliminazione di Gauss con pivoting parziale, un metodo classico dell'algebra lineare numerica che elimina le incognite riga dopo riga finché la matrice completa non assume una forma da cui ogni valore si legge direttamente. Il pivoting parziale — cioè la scelta, in ogni colonna, della riga con il coefficiente di modulo maggiore prima di procedere — migliora la stabilità numerica rispetto all'eliminazione ingenua.
Come usare questo calcolatore di sistemi di equazioni
- Scegli il numero di incognite: 2 per un sistema di due equazioni in due incognite (x, y), oppure 3 per un sistema di tre equazioni in tre incognite (x, y, z).
- Inserisci i coefficienti come elenco separato da ;, procedendo per righe. Per un sistema 2×2 servono sei numeri in tutto: a₁; b₁; c₁; a₂; b₂; c₂, corrispondenti alle equazioni a₁x + b₁y = c₁ e a₂x + b₂y = c₂.
- Per un sistema 3×3 inserisci invece dodici numeri: a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃, ossia a₁x + b₁y + c₁z = d₁ e le due equazioni successive.
- Leggi i valori calcolati di x, y (e di z nel caso 3×3). Se il sistema è singolare — con equazioni dipendenti o contraddittorie — il calcolatore segnala «Nessuna soluzione unica» al posto dei valori numerici.
La formula alla base dell'eliminazione di Gauss
L'eliminazione di Gauss trasforma la matrice completa [A | b] in una forma equivalente e più facile da risolvere, applicando operazioni sulle righe che non alterano l'insieme delle soluzioni: scambiare due righe, moltiplicare una riga per una costante non nulla e sommare a una riga un multiplo di un'altra. Questo calcolatore porta l'eliminazione fino alla forma ridotta e legge la soluzione direttamente dalla matrice diagonale ottenuta, usando il pivoting parziale (la scelta del pivot di modulo maggiore in ogni colonna) per contenere gli errori di arrotondamento in virgola mobile.
Esempio svolto (2×2): risolvi 2x + y = 5 e x − y = 1. Sommando le due equazioni si elimina y: 3x = 6, dunque x = 2. Sostituendo nella seconda equazione: 2 − y = 1, quindi y = 1. Verifica: 2(2) + 1 = 5 ✓ e 2 − 1 = 1 ✓.
Un sistema è singolare — cioè privo di un'unica soluzione — quando la matrice dei coefficienti ha determinante nullo, ossia quando l'eliminazione di Gauss produce una colonna il cui pivot risulta (numericamente) zero. Un sistema singolare è incompatibile, se le equazioni si contraddicono, come x + y = 2 e x + y = 5, e allora non ammette soluzioni; oppure è dipendente, se un'equazione è multipla di un'altra, come x + y = 2 e 2x + 2y = 4, e allora ammette infinite soluzioni. Distinguere i due casi richiede l'esame diretto delle equazioni: il calcolatore li segnala entrambi come assenza di soluzione unica.
Errori comuni
- Inserire i coefficienti in un ordine diverso da quello per righe: il calcolatore si aspetta i coefficienti di ciascuna equazione seguiti dal suo termine noto, riga dopo riga, non colonna per colonna.
- Dimenticare che un sistema 3×3 richiede dodici numeri (quattro per riga) e non nove: va incluso anche il termine noto a destra di ogni equazione.
- Dare per scontato che «nessuna soluzione unica» significhi sempre assenza di soluzioni: può indicare altrettanto bene infinite soluzioni, cioè un sistema dipendente, e per distinguere i due casi occorre riesaminare a mano le equazioni originali.
- Confondere il lato dell'uguale a cui appartiene una costante: prima di inserire i coefficienti, tutti i termini con incognite vanno portati a sinistra e l'equazione scritta nella forma a₁x + b₁y (+ c₁z) = termine noto.
- Aspettarsi frazioni esatte in uscita: i risultati sono approssimazioni decimali arrotondate a sei cifre, pertanto una soluzione pari a 1/3 compare come 0,333333.
Domande frequenti
Come si risolve un sistema di due equazioni lineari?
Un metodo diffuso è l'eliminazione: si sommano o sottraggono multipli delle equazioni per cancellare un'incognita, si risolve rispetto a quella rimasta e si sostituisce a ritroso. Per 2x + y = 5 e x − y = 1, sommando le equazioni si elimina y e si ottiene 3x = 6, dunque x = 2; sostituendo si ricava y = 1. Questo calcolatore automatizza il procedimento equivalente — l'eliminazione di Gauss — sia per i sistemi 2×2 sia per quelli 3×3.
Che cosa significa che un sistema non ha soluzione unica?
Significa che le equazioni non si intersecano in un unico punto. Ciò accade in due modi distinti: le equazioni possono essere incompatibili, cioè contraddittorie come x + y = 2 e x + y = 5, e allora non esiste alcuna soluzione; oppure dipendenti, quando un'equazione è una copia riscalata dell'altra come x + y = 2 e 2x + 2y = 4, e allora le soluzioni sono infinite. In entrambi i casi la matrice dei coefficienti ha determinante nullo.
Quante equazioni servono per risolvere un sistema con 3 incognite?
In generale un sistema richiede almeno tante equazioni indipendenti quante sono le incognite per ammettere un'unica soluzione: dunque tre equazioni indipendenti per tre incognite (x, y, z). Con un numero inferiore di equazioni indipendenti resta almeno un grado di libertà, il che produce infinite soluzioni anziché una sola.
Che cos'è l'eliminazione di Gauss?
L'eliminazione di Gauss è un metodo sistematico per risolvere i sistemi lineari mediante operazioni sulle righe — scambiarle, moltiplicarne una per una costante, sommare a una riga un multiplo di un'altra — fino a trasformare la matrice completa in una forma triangolare o diagonale da cui la soluzione si legge direttamente. È il metodo standard insegnato in algebra lineare e usato internamente dalla maggior parte dei risolutori numerici, questo calcolatore compreso.
Questo calcolatore risolve i sistemi non lineari, per esempio con x²?
No. Il calcolatore risolve soltanto sistemi lineari, in cui ogni incognita compare alla prima potenza e non ci sono prodotti fra incognite (niente x², niente termini xy). I sistemi non lineari richiedono metodi diversi, come la sostituzione combinata con la formula risolutiva di secondo grado, oppure tecniche numeriche di ricerca delle radici.
Perché il calcolatore mostra decimali invece di frazioni esatte?
Il risolutore esegue l'eliminazione di Gauss in virgola mobile, cioè in forma decimale, che è l'approccio consueto dell'algebra lineare numerica, anziché in aritmetica simbolica sulle frazioni. Una soluzione pari a 1/3 compare quindi come 0,333333, arrotondata a sei cifre decimali. Nei sistemi con coefficienti interi puliti, invece, l'output decimale si assesta di norma su un numero intero esatto o quasi esatto.
Fonti
- Strang G. Linear Algebra and Its Applications. 4th ed. Cengage Learning, 2006. (Gaussian elimination and matrix rank.)
- Lay DC, Lay SR, McDonald JJ. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2015.
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. 9th ed. Cengage Learning, 2011. (Partial pivoting and numerical stability.)