Come leggere l'anteprima della successione
Il segno della ragione stabilisce se la successione cresce, decresce o resta costante, come mostrato qui sotto per un primo termine pari a 3.
| Ragione (d) | Comportamento | Primi 5 termini (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (per esempio d = 4) | Successione crescente | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Successione costante: ogni termine è uguale ad a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (per esempio d = −4) | Successione decrescente | 3, −1, −5, −9, −13 |
- L'anteprima mostra fino ai primi 8 termini; per n maggiore di 8 i puntini di sospensione (…) indicano che la successione prosegue oltre quanto visualizzato, mentre il termine n-esimo e la somma restano comunque calcolati esattamente sull'intero n inserito.
- A differenza di una progressione geometrica, una progressione aritmetica non ha alcun limite superiore o inferiore ai valori che i termini possono assumere al crescere di n (salvo il caso d = 0), e non esiste una «somma all'infinito» finita: la somma parziale Sₙ cresce senza limite al crescere di n quando d ≠ 0.
Che cos'è una progressione aritmetica?
Una progressione aritmetica è un elenco ordinato di numeri in cui la differenza fra ciascun termine e quello che lo precede resta sempre la stessa costante, detta ragione (d). Per esempio, 3, 7, 11, 15, 19 è una progressione aritmetica con primo termine 3 e ragione 4, poiché ogni termine supera di 4 il precedente.
La ragione può essere positiva, e allora la successione cresce; negativa, e allora decresce; oppure nulla, nel qual caso la successione è costante e ogni termine coincide con il primo. Le progressioni aritmetiche descrivono qualunque processo che vari della stessa quantità fissa a ogni passo: un piano di risparmio con versamenti costanti, file di posti a sedere che aumentano di un numero fisso di sedute, oppure un conto alla rovescia che scala a intervalli regolari.
Di una progressione aritmetica si chiedono di solito due grandezze collegate: il valore di un termine preciso, cioè il termine n-esimo, e la somma di una sequenza di termini consecutivi, ossia una somma parziale, detta anche serie aritmetica. Questo calcolatore ricava entrambe dagli stessi tre dati.
Come usare questo calcolatore di progressione aritmetica
- Inserisci il primo termine della successione (a₁), cioè il valore di partenza.
- Inserisci la ragione (d), ossia la quantità fissa che si aggiunge a ogni termine per ottenere il successivo. Usa un numero negativo se la successione decresce.
- Inserisci il numero di termini (n) per cui vuoi conoscere il termine n-esimo e la somma.
- Leggi il termine n-esimo, la somma dei primi n termini e l'anteprima, che mostra fino ai primi 8 termini della successione.
Le formule della progressione aritmetica
Il termine n-esimo di una progressione aritmetica si ottiene partendo dal primo termine e aggiungendo la ragione (n − 1) volte, poiché il primo termine non richiede alcuna addizione: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Esempio svolto con a₁ = 3, d = 4, n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
La somma dei primi n termini sfrutta il fatto che accoppiando il primo con l'ultimo termine, il secondo con il penultimo e così via si ottiene sempre la stessa somma di coppia (a₁ + aₙ). Ne deriva la formula chiusa Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), equivalente a Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Esempio svolto: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
La tradizione matematica attribuisce questa formula al giovane Carl Friedrich Gauss, che avrebbe sommato gli interi da 1 a 100 accoppiando 1+100, 2+99 e così via, ottenendo 50 coppie di somma 101 e dunque un totale di 5.050: è la stessa logica di accoppiamento a fondare la formula generale usata qui.
Errori comuni
- Usare n al posto di (n − 1) nella formula del termine n-esimo: il primo termine (n = 1) richiede zero addizioni di d e non una, dato che aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Confondere la ragione di una progressione aritmetica con quella di una geometrica: nella prima si somma una quantità fissa a ogni passo, nella seconda si moltiplica invece per un fattore fisso.
- Ritenere che la formula della somma richieda di elencare ogni termine: la formula chiusa Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) restituisce il totale direttamente, senza sommare i termini uno per uno.
- Inserire un numero di termini non intero: n deve essere un intero positivo che indica una posizione (1°, 2°, 3°, …) e non un conteggio frazionario.
Domande frequenti
Come si trova il termine n-esimo di una progressione aritmetica?
Si usa la formula aₙ = a₁ + (n − 1)d, dove a₁ è il primo termine, d la ragione e n la posizione del termine cercato. Con a₁ = 3, d = 4 e n = 10 si ottiene a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Come si calcola la somma di una progressione aritmetica?
Si usa la formula Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), che somma i primi n termini senza doverli addizionare uno per uno. Con a₁ = 3, d = 4 e n = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Che differenza c'è fra una progressione aritmetica e una geometrica?
Una progressione aritmetica ha differenza costante fra termini consecutivi, poiché ogni termine è il precedente più d. Una progressione geometrica ha invece rapporto costante fra termini consecutivi, dato che ogni termine è il precedente moltiplicato per r. Le progressioni aritmetiche crescono in modo lineare, mentre quelle geometriche crescono o si riducono in modo esponenziale quando il modulo del rapporto è diverso da 1.
La ragione può essere negativa o nulla?
Sì. Una ragione negativa dà una successione decrescente, per esempio 10, 7, 4, 1, −2 con d = −3. Una ragione pari a zero dà invece una successione costante, in cui ogni termine coincide con il primo. Entrambe sono progressioni aritmetiche valide.
Come si ricava la ragione a partire da due termini?
Si sottrae un termine da quello immediatamente successivo: d = aₙ₊₁ − aₙ. Se invece conosci due termini non consecutivi, aₘ e aₙ, si usa d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Fonti
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.