Come funziona la regola del cambio di verso
Il segno del coefficiente a stabilisce se il simbolo di disuguaglianza resta invariato oppure si inverte quando si isola x, come mostrato qui sotto.
| Segno di a | Effetto sul simbolo di disuguaglianza | Esempio |
|---|---|---|
| a > 0 (positivo) | Simbolo invariato | 2x < 8 → x < 4 |
| a < 0 (negativo) | Simbolo invertito (< diventa >, ≤ diventa ≥ e così via) | −2x < 8 → x > −4 |
| a = 0 | Si riduce a un'affermazione vera o falsa sulle sole costanti | 0x + 3 < 11 → sempre vera (tutti i numeri reali) |
- Quando a = 0 il risultato è «Tutti i numeri reali (sempre vera)» oppure «Nessuna soluzione (sempre falsa)», poiché la disequazione non dipende più in alcun modo da x.
- Il valore di confine indicato è il punto in cui l'espressione ax + b eguaglia esattamente c; che quel confine rientri o meno nella soluzione dipende dal fatto che la disequazione sia stretta (<, >) oppure inclusiva (≤, ≥).
- Questo calcolatore risolve soltanto disequazioni lineari in una incognita. Le disequazioni composte, per esempio 3 < 2x + 1 < 9, e quelle con x² o potenze superiori richiedono invece metodi diversi.
Che cos'è una disequazione lineare?
Una disequazione lineare è un'affermazione matematica che confronta un'espressione di primo grado — un'incognita elevata solo alla prima potenza, con un coefficiente e una costante — con un altro valore, usando un simbolo di disuguaglianza: minore di (<), minore o uguale a (≤), maggiore di (>) oppure maggiore o uguale a (≥). A differenza di un'equazione lineare, che di norma ha una sola soluzione, una disequazione lineare ne ha in genere infinite: tutti i valori di x che rendono vera l'affermazione.
Questo calcolatore risolve disequazioni della forma ax + b [operatore] c, dove a è il coefficiente di x, b una costante sommata al primo membro e c il valore di confronto al secondo membro. Risolvere significa isolare x da una parte, ottenendo un risultato come x < 4, che indica come ogni valore minore di 4 soddisfi la disequazione di partenza.
La regola che più di ogni altra distingue le disequazioni dalle equazioni è la seguente: moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero negativo, il verso del simbolo di disuguaglianza si inverte. Questo calcolatore applica la regola in automatico, in base al segno del coefficiente a.
Come usare questo calcolatore di disequazioni
- Inserisci il coefficiente di x (a), cioè il numero che moltiplica x al primo membro della disequazione.
- Inserisci la costante (b), ossia il numero sommato ad ax al primo membro. Usa 0 se il termine noto è assente.
- Seleziona il simbolo della disequazione: <, ≤, > oppure ≥.
- Inserisci il valore al secondo membro (c). Leggi quindi la soluzione, espressa come x [simbolo] valore di confine; il verso si inverte automaticamente se a è negativo.
Il metodo per risolvere le disequazioni lineari
Risolvere ax + b [op] c rispetto a x richiede gli stessi passaggi algebrici di un'equazione: si sottrae b da entrambi i membri e poi si divide tutto per a. Esempio svolto: risolvi 2x + 3 < 11. Sottraendo 3 da entrambi i membri si ottiene 2x < 8; dividendo poi per 2, che è positivo e lascia dunque invariato il verso, si arriva a x < 4.
Quando il coefficiente a è negativo, la divisione per esso inverte il simbolo di disuguaglianza. Esempio svolto: risolvi −2x + 3 < 11. Sottraendo 3: −2x < 8. Dividendo entrambi i membri per −2 e invertendo il verso si ottiene x > −4, e non x < −4. Questa regola del cambio di verso è di gran lunga la principale fonte di errore quando si risolvono disequazioni a mano.
Un caso particolare si presenta quando a = 0: la disequazione si riduce a un confronto fra costanti, come 3 < 11, che risulta sempre vero — e allora la soluzione è «tutti i numeri reali» — oppure sempre falso, e allora non esiste soluzione, indipendentemente da x.
Errori comuni
- Dimenticare di invertire il verso della disequazione quando si moltiplicano o dividono entrambi i membri per un numero negativo: è l'errore più frequente in assoluto.
- Trattare ≤ e < (oppure ≥ e >) come intercambiabili: la distinzione stabilisce se il valore di confine appartiene o no all'insieme delle soluzioni.
- Applicare l'intuizione valida per le equazioni senza controllare il segno del coefficiente: una disequazione con coefficiente negativo non si risolve allo stesso modo di una con coefficiente positivo.
- Dare per scontato che una disequazione abbia sempre un confine numerico: quando il coefficiente di x è 0, il risultato si riduce a «sempre vera» o «sempre falsa», senza alcun valore di confine.
Domande frequenti
Come si risolve una disequazione lineare?
Si isola l'incognita con gli stessi passaggi di un'equazione — si sommano o sottraggono termini per spostare le costanti, poi si moltiplica o divide per eliminare il coefficiente — invertendo però il verso ogni volta che si moltiplica o si divide per un numero negativo. Per 2x + 3 < 11: sottrai 3 e ottieni 2x < 8, poi dividi per 2 e arrivi a x < 4.
Perché il verso si inverte moltiplicando per un numero negativo?
Moltiplicare o dividere per un numero negativo capovolge l'ordine dei valori sulla retta numerica: per esempio 2 < 5, ma moltiplicando entrambi i membri per −1 si ottengono −2 e −5, e −2 è in realtà maggiore di −5. Perché l'affermazione resti vera, il simbolo deve dunque invertirsi: −2 > −5.
Che cosa significa «nessuna soluzione» per una disequazione?
Si ha «nessuna soluzione» quando il coefficiente di x è zero e il confronto fra costanti che ne risulta è falso: per esempio 0x + 3 > 11 si riduce a 3 > 11, mai vera qualunque sia x. In questo caso nessun valore di x può soddisfare la disequazione di partenza.
Che differenza c'è fra < e ≤?
Il simbolo < (strettamente minore di) esclude dalla soluzione il valore di confine, mentre ≤ (minore o uguale a) lo include. Per x < 4 il valore 4 non è una soluzione; per x ≤ 4 lo è. Sulla retta numerica la distinzione si rappresenta con un pallino vuoto (<, >) oppure pieno (≤, ≥) in corrispondenza del confine.
Come si verifica la soluzione di una disequazione?
Si sostituisce un valore di prova preso dall'intervallo trovato nella disequazione originale e si controlla che risulti vera; volendo, si prova anche un valore esterno per confermare che non lo sia. Per la soluzione x < 4 di 2x + 3 < 11, provando x = 0 si ottiene 2(0) + 3 = 3 < 11 ✓, mentre con x = 5, fuori dall'intervallo, si ottiene 2(5) + 3 = 13, che non è minore di 11: il confine è dunque corretto.
Fonti
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Inequalities. dlmf.nist.gov.
- Sullivan M. Algebra and Trigonometry. 11th ed. Pearson, 2019. (Linear inequalities in one variable.)
- Lial ML, Hornsby J, Schneider DI, Daniels CJ. College Algebra. 13th ed. Pearson, 2017.