Come interpretare tasso di crescita e tempo di raddoppio
Il tempo di raddoppio si accorcia bruscamente al crescere del tasso, poiché la relazione fra i due è logaritmica e non lineare. La tabella riporta i tempi di raddoppio approssimati per alcuni tassi comuni, calcolati con t = ln(2) ÷ ln(1 + r).
| Tasso di crescita per periodo | Tempo di raddoppio esatto (periodi) | Approssimazione regola del 70 |
|---|---|---|
| 1% | ≈ 69,66 | 70 |
| 2% | ≈ 35,00 | 35 |
| 5% | ≈ 14,21 | 14 |
| 10% | ≈ 7,27 | 7 |
| 20% | ≈ 3,80 | 3,5 |
- Il calcolatore modella una capitalizzazione a periodi discreti, cioè una volta per periodo, e non una capitalizzazione continua. La crescita esponenziale continua usa invece P(t) = P₀ × eʳᵗ e produce risultati leggermente diversi a parità di tasso nominale.
- Un tasso di decadimento pari o superiore al 100% (fattore ≤ 0) non viene modellato: il valore raggiungerebbe lo zero o diventerebbe indefinito, pertanto si restituisce un risultato soltanto per i tassi che mantengono strettamente positivo il fattore di crescita o decadimento.
- La «regola del 70», o «regola del 72» in ambito finanziario, è una nota approssimazione a mente della formula logaritmica esatta del tempo di raddoppio, ed è tanto più precisa quanto più il tasso resta sotto il 10–15% per periodo.
Che cos'è la crescita esponenziale?
Si ha crescita esponenziale quando una grandezza aumenta di una percentuale costante a ogni intervallo di tempo uguale, cosicché l'incremento stesso diventa via via più grande: nella crescita lineare, invece, si aggiunge ogni periodo la medesima quantità fissa. Il decadimento esponenziale è il processo speculare, in cui la grandezza diminuisce di una percentuale costante a ogni periodo e la riduzione si assottiglia nel tempo, poiché si assottiglia anche il valore di base.
Una sola formula matematica, P(t) = P₀ × (1 ± r)ᵗ, descrive tanto la crescita quanto il decadimento: P₀ è il valore iniziale, r è il tasso per periodo espresso in forma decimale, t è il numero di periodi e il segno è positivo per la crescita, negativo per il decadimento. Si tratta della formula della crescita composta a periodi discreti, matematicamente identica all'interesse composto in assenza di versamenti aggiuntivi.
I modelli esponenziali ricorrono in tutte le scienze: la crescita di una popolazione con risorse illimitate, il decadimento radioattivo, l'interesse composto, la diffusione di una malattia infettiva nella fase iniziale e la legge di Moore sulla densità dei transistor seguono tutti la stessa forma esponenziale, benché il tasso r e i fattori che lo determinano cambino da un ambito all'altro.
Come usare questo calcolatore di crescita esponenziale
- Inserisci il valore iniziale, cioè la quantità di partenza della grandezza che stai modellando: una popolazione, il saldo di un investimento oppure la quantità di una sostanza.
- Inserisci il tasso di crescita o di decadimento come percentuale per periodo (per esempio 5 per un tasso del 5%).
- Inserisci il numero di periodi da proiettare. I periodi devono usare la stessa unità di tempo del tasso: a un tasso annuo, dunque, corrisponde un numero di anni.
- Seleziona «Crescita» se il valore aumenta a ogni periodo oppure «Decadimento» se diminuisce. Leggi quindi il valore finale, la variazione totale rispetto al valore iniziale e il tempo di raddoppio o di dimezzamento.
La formula della crescita e del decadimento esponenziale
La formula di base è P(t) = P₀ × (1 + r)ᵗ per la crescita e P(t) = P₀ × (1 − r)ᵗ per il decadimento, dove P₀ è il valore iniziale, r il tasso per periodo in forma decimale e t il numero di periodi trascorsi. Esempio svolto (crescita): con P₀ = 1000, r = 5% = 0,05 e t = 10 periodi si ottiene P(10) = 1000 × 1,05¹⁰ ≈ 1000 × 1,628895 ≈ 1.628,89. La variazione totale è pertanto 1.628,89 − 1000 = 628,89.
Il tempo di raddoppio, nella crescita, e quello di dimezzamento, nel decadimento, rispondono alla domanda «dopo quanti periodi il valore raddoppia o si dimezza?» e si ricavano risolvendo (1 ± r)ᵗ = 2 (oppure 0,5) rispetto a t mediante i logaritmi: t = ln(2) ÷ |ln(1 ± r)|. Per l'esempio con crescita del 5%, il tempo di raddoppio vale ln(2) ÷ ln(1,05) ≈ 0,693147 ÷ 0,048790 ≈ 14,21 periodi. È la forma esatta della nota approssimazione detta «regola del 70» (70 ÷ tasso% ≈ 14 periodi per un tasso del 5%), che di quella stessa formula logaritmica è una scorciatoia arrotondata.
Per il decadimento lo stesso approccio logaritmico fornisce il tempo di dimezzamento. Esempio: un tasso di decadimento del 3% (fattore 0,97) dà un tempo di dimezzamento pari a ln(0,5) ÷ ln(0,97) ≈ 22,76 periodi, ossia il numero di periodi necessari perché la grandezza scenda alla metà del valore di partenza.
Errori comuni
- Disallineare l'unità di tempo del tasso e il numero di periodi: un tasso di crescita annuo va abbinato a un numero di anni, non di mesi o di giorni, a meno di convertirlo prima.
- Trattare la crescita esponenziale come se fosse lineare: raddoppiare il numero di periodi non raddoppia il valore finale, bensì eleva al quadrato il contributo del fattore di crescita, con variazioni ben più ampie di quanto suggerisca l'intuizione lineare.
- Inserire un tasso di decadimento superiore al 100%, per esempio 150%, che produce un fattore di crescita negativo o indefinito e non rappresenta un modello valido di riduzione proporzionale.
- Confondere il tempo di raddoppio con il tempo necessario a raggiungere un valore obiettivo: il tempo di raddoppio dipende soltanto dal tasso ed è del tutto indipendente dal valore di partenza.
- Usare l'approssimazione della regola del 70 o del 72 aspettandosi che coincida esattamente con il calcolo logaritmico: la regola è una buona stima, non una formula esatta, e si discosta tanto più quanto più il tasso è elevato.
Domande frequenti
Qual è la formula della crescita esponenziale?
La formula della crescita esponenziale è P(t) = P₀ × (1 + r)ᵗ, dove P₀ è il valore iniziale, r il tasso di crescita per periodo in forma decimale e t il numero di periodi. Per esempio, $1000 che crescono al 5% per periodo per 10 periodi danno 1000 × 1,05¹⁰ ≈ $1.628,89.
Come si calcola il tempo di raddoppio?
Il tempo di raddoppio si calcola come t = ln(2) ÷ ln(1 + r), dove r è il tasso di crescita in forma decimale. Con un tasso del 5% si ottiene ln(2) ÷ ln(1,05) ≈ 14,21 periodi. Il valore indica dopo quanti periodi una grandezza che cresce a quel tasso raddoppia, indipendentemente dal suo valore di partenza.
Che differenza c'è fra crescita esponenziale e crescita lineare?
La crescita lineare aggiunge ogni periodo la stessa quantità fissa, per esempio +10 unità, mentre quella esponenziale aggiunge una percentuale fissa del valore corrente, cosicché l'incremento assoluto si ingrandisce nel tempo. Una grandezza che cresce in modo esponenziale finisce prima o poi per superare qualunque grandezza a crescita lineare, per quanto grande sia l'incremento di quest'ultima.
Che cos'è la regola del 70?
La regola del 70 è una scorciatoia di calcolo mentale che stima il tempo di raddoppio dividendo 70 per il tasso di crescita percentuale. Con un tasso del 5%: 70 ÷ 5 = 14 periodi, valore vicino al risultato logaritmico esatto di 14,21 periodi. È un'approssimazione della formula esatta t = ln(2) ÷ ln(1 + r) ed è tanto più precisa quanto più il tasso è basso.
In che cosa il decadimento esponenziale differisce dalla crescita esponenziale?
Il decadimento esponenziale applica il tasso come riduzione anziché come incremento: P(t) = P₀ × (1 − r)ᵗ. Crescita e decadimento condividono la stessa struttura matematica, cioè una variazione percentuale fissa che si compone a ogni periodo, tuttavia il decadimento tende a zero nel tempo mentre la crescita aumenta senza limite.
Il tasso di crescita può essere negativo in modalità «crescita»?
Sì: inserendo un tasso negativo in modalità crescita si ottiene un valore che diminuisce, il che equivale matematicamente a un decadimento. Le due modalità esistono soprattutto per chiarezza interpretativa e per attribuire l'etichetta corretta, tempo di raddoppio oppure tempo di dimezzamento.
Fonti
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §4.2 Elementary Properties of the Exponential Function. dlmf.nist.gov.
- Boyce WE, DiPrima RC. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 11th ed. Wiley, 2017. (Exponential growth/decay models.)
- Weisstein EW. 'Doubling Time' and 'Exponential Growth.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.