Interpretare i risultati delle potenze
Il segno e la dimensione dell'esponente determinano la natura del risultato. La tabella seguente riassume i casi per una base maggiore di 1.
| Esponente | Risultato (base > 1) | Esempio |
|---|---|---|
| Intero positivo | Moltiplicazione ripetuta; cresce rapidamente | 2^10 = 1024 |
| Zero | Sempre 1 per qualunque base diversa da zero | 7^0 = 1 |
| Negativo | Reciproco della potenza positiva; compreso fra 0 e 1 | 2^-3 = 0,125 |
| Frazione 1/n | La radice n-esima | 9^0,5 = 3 |
| Frazionario con base negativa | In generale non è un numero reale | (-8)^0,5 non definito nei reali |
- L'elevamento a potenza non è commutativo: 2^10 = 1024 mentre 10^2 = 100.
- Le potenze iterate si valutano per convenzione da destra a sinistra: 2^3^2 significa 2^(3^2) = 2^9 = 512 e non (2^3)^2 = 64.
- I risultati oltre circa 10^15 perdono la precisione intera nella virgola mobile a doppia precisione e vengono mostrati in notazione scientifica.
- 0^0 è trattato come 1 dalla maggior parte degli ambienti di calcolo (questo calcolatore compreso), benché in alcuni contesti matematici resti indefinito.
Che cos'è l'elevamento a potenza?
L'elevamento a potenza scrive in forma compatta una moltiplicazione ripetuta: b^n indica la base b moltiplicata per se stessa n volte quando n è un intero positivo. Così 2^10 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024. La base è il numero che viene moltiplicato, mentre l'esponente conta le moltiplicazioni.
La definizione si estende in modo coerente oltre gli interi positivi. Qualsiasi base diversa da zero elevata a 0 vale 1. Un esponente negativo dà il reciproco: b^(-n) = 1 / b^n, dunque 2^(-3) = 1/8 = 0,125. Un esponente frazionario dà una radice: b^(1/2) è la radice quadrata di b e b^(1/3) la radice cubica, perciò 9^0,5 = 3. Tali estensioni sono imposte dalla necessità che la legge b^(m+n) = b^m x b^n continui a valere.
Le potenze frazionarie di basi negative in generale non sono numeri reali — per esempio (-8)^0,5 sarebbe la radice quadrata di un numero negativo — perciò in questi casi il calcolatore non restituisce alcun risultato. I risultati molto grandi vengono mostrati in notazione scientifica, il formato standard m x 10^k usato in tutta la scienza e l'ingegneria.
Come usare questo calcolatore di esponenti
- Inserisci la base, ossia il numero da elevare a potenza. Può essere negativa oppure decimale.
- Inserisci l'esponente. Sono ammessi esponenti positivi, negativi, nulli e frazionari.
- Leggi il risultato. I valori superiori in modulo a circa 10^15 vengono mostrati in notazione scientifica.
- Leggi la forma in notazione scientifica (m x 10^k, visualizzata come stringa in notazione esponenziale, per esempio 1.0240e+3), sempre fornita come riferimento.
Le leggi delle potenze
Le regole fondamentali: moltiplicando potenze della stessa base si sommano gli esponenti, b^m x b^n = b^(m+n); dividendole si sottraggono; elevando una potenza a un'altra potenza si moltiplicano, (b^m)^n = b^(mn); qualsiasi base diversa da zero elevata a 0 vale 1; un esponente negativo indica un reciproco; un esponente frazionario 1/n indica la radice n-esima.
Esempio svolto: 2^10. Moltiplicando dieci fattori uguali a 2 si ottiene 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, dunque 2^10 = 1024. In notazione scientifica 1024 = 1,024 x 10^3, che questo calcolatore visualizza come 1.0240e+3.
Esempio con esponente negativo: 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125. Esempio con esponente frazionario: 9^0,5 = √9 = 3, e 8^(1/3) = 2 poiché 2^3 = 8.
Errori comuni
- Moltiplicare la base per l'esponente: 2^10 vale 1024 e non 20.
- Ritenere che un esponente negativo produca un numero negativo: b^(-n) è il reciproco 1/b^n, che per b positivo resta positivo.
- Confondere -2^4 con (-2)^4: per convenzione l'elevamento a potenza precede la negazione, dunque -2^4 = -16 mentre (-2)^4 = 16.
- Sommare gli esponenti quando le basi sono diverse: la regola b^m x b^n = b^(m+n) vale soltanto per basi identiche.
- Attendersi un risultato reale da una potenza frazionaria di base negativa, come (-8)^0,5, che non è un numero reale.
Domande frequenti
Quanto vale 2 elevato alla decima?
2^10 = 1024. È 2 moltiplicato per se stesso dieci volte e in notazione scientifica si scrive 1,024 x 10^3. Le potenze di 2 sono fondamentali in informatica: 2^10 byte corrispondono a un kibibyte.
Che cosa significa un esponente negativo?
Un esponente negativo indica il reciproco della corrispondente potenza positiva: b^(-n) = 1 / b^n. Per esempio, 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125. Il risultato di un esponente negativo su base positiva è sempre positivo: è piccolo, non negativo.
Che cosa significa un esponente frazionario?
Un esponente frazionario indica una radice: b^(1/n) è la radice n-esima di b e b^(m/n) è la radice n-esima di b^m. Per esempio, 9^0,5 = √9 = 3 e 8^(2/3) = (radice cubica di 8)^2 = 2^2 = 4. Le potenze frazionarie di basi negative in generale non sono numeri reali.
Perché qualsiasi numero elevato a 0 vale 1?
Discende dalla legge delle potenze b^m / b^n = b^(m-n). Ponendo m = n si ottiene b^m / b^m = b^0, e qualunque numero diverso da zero diviso per se stesso dà 1, dunque b^0 = 1. L'espressione 0^0 è un caso particolare: la maggior parte dei sistemi di calcolo la valuta 1, mentre alcuni contesti matematici la lasciano indefinita.
Che cos'è la notazione scientifica?
La notazione scientifica scrive un numero come m x 10^k, dove la mantissa m ha una sola cifra diversa da zero prima della virgola e k è una potenza intera di dieci. Per esempio, 1024 = 1,024 x 10^3 e 0,00052 = 5,2 x 10^-4. Mantiene leggibili i numeri molto grandi e molto piccoli e rende espliciti gli ordini di grandezza; le calcolatrici la mostrano spesso in notazione esponenziale, per esempio 1.0240e+3.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Exponent Laws." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (notation for powers and roots).
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (exponents, radicals and scientific notation).