Come distinguere convergenza e divergenza
Che una serie geometrica converga o meno a una somma finita man mano che si aggiungono termini dipende unicamente dal modulo della ragione, come riassunto qui sotto.
| Ragione |r| | Comportamento dei termini | Somma all'infinito |
|---|---|---|
| |r| < 1 (per esempio r = 0,5) | I termini si riducono verso 0 | Converge: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | I termini restano costanti in modulo (o alternano segno se r = −1) | Diverge (nessuna somma finita, salvo il caso banale a₁ = 0) |
| |r| > 1 (per esempio r = 3) | I termini crescono in modulo senza limite | Diverge (nessuna somma finita) |
- L'anteprima mostra fino ai primi 8 termini; per n maggiore di 8 i puntini di sospensione (…) segnalano che esistono altri termini, mentre il termine n-esimo e la somma finita restano calcolati esattamente sull'intero n inserito.
- La somma all'infinito compare soltanto quando |r| < 1; per tutte le altre ragioni la serie non ha somma finita e il calcolatore lo dichiara anziché mostrare un numero fuorviante.
- Una ragione esattamente pari a 0 non dà una progressione geometrica in senso proprio, poiché ogni termine dopo il primo sarebbe 0, mentre le ragioni negative producono una successione che alterna il segno a ogni termine.
Che cos'è una progressione geometrica?
Una progressione geometrica è un elenco ordinato di numeri in cui ogni termine, dopo il primo, si ricava moltiplicando il precedente per una costante detta ragione (r). Per esempio, 2, 6, 18, 54, 162 è una progressione geometrica con primo termine 2 e ragione 3, poiché ogni termine vale il triplo di quello che lo precede.
Quando |r| > 1 i termini crescono in modulo senza limite, secondo una crescita esponenziale; quando 0 < |r| < 1 si riducono verso zero, secondo un decadimento esponenziale; quando r = 1 ogni termine è uguale al primo; se invece r è negativo, il segno dei termini si alterna. Le progressioni geometriche descrivono l'interesse composto, il raddoppio di una popolazione, il decadimento radioattivo e ogni processo in cui una grandezza viene riscalata ripetutamente dello stesso fattore.
Una serie geometrica è la somma dei termini di una progressione geometrica. A differenza di una serie aritmetica, una serie geometrica può avere somma finita anche estendendosi a infiniti termini, purché il valore assoluto della ragione sia strettamente minore di 1: una proprietà che nelle progressioni aritmetiche non ha alcun corrispettivo.
Come usare questo calcolatore di progressione geometrica
- Inserisci il primo termine della successione (a₁), cioè il valore di partenza.
- Inserisci la ragione (r), ossia il fattore fisso per cui si moltiplica ogni termine per ottenere il successivo. Usa un valore compreso fra −1 e 1, zero escluso, se vuoi vedere una somma infinita convergente.
- Inserisci il numero di termini (n) per cui vuoi conoscere il termine n-esimo e la somma parziale.
- Leggi il termine n-esimo, la somma dei primi n termini, la somma all'infinito (mostrata solo quando |r| < 1) e l'anteprima dei primi 8 termini.
Le formule della progressione geometrica
Il termine n-esimo si ottiene moltiplicando il primo termine per la ragione elevata alla potenza (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). Esempio svolto con a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
La somma dei primi n termini si calcola con la formula chiusa Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) valida per r ≠ 1, ricavata sottraendo dalla serie una sua copia riscalata così da cancellare tutti i termini tranne il primo e l'ultimo. Quando r = 1 ogni termine coincide con a₁, pertanto la somma si riduce a Sₙ = a₁ × n. Esempio svolto: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Quando |r| < 1 il termine rⁿ tende a 0 al crescere illimitato di n, dunque la formula della somma parziale converge a un limite finito: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Per esempio, con a₁ = 8 e r = 0,5 si ha S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16: la somma infinita 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + … si avvicina a 16 senza mai superarlo. Quando invece |r| ≥ 1 la somma infinita diverge, cioè non ha valore finito, e il calcolatore non ne riporta alcuno.
Errori comuni
- Usare n anziché (n − 1) come esponente: il primo termine (n = 1) vale a₁ × r⁰ = a₁ e non a₁ × r¹, pertanto l'esponente è sempre (n − 1).
- Applicare la formula della somma infinita quando |r| ≥ 1: in quel caso la serie diverge e non ha somma finita, poiché a₁ ÷ (1 − r) vale soltanto per |r| < 1.
- Confondere la ragione di una progressione geometrica con quella di una aritmetica: nella geometrica si moltiplica per r a ogni passo, nell'aritmetica si somma invece d.
- Dimenticare che una ragione negativa produce una successione a segni alterni, per esempio 2, −6, 18, −54 con a₁ = 2 e r = −3, comportamento del tutto atteso che molti scambiano per un errore.
Domande frequenti
Come si trova il termine n-esimo di una progressione geometrica?
Si usa la formula aₙ = a₁ × r^(n−1), dove a₁ è il primo termine, r la ragione e n la posizione del termine. Con a₁ = 2, r = 3 e n = 5 si ottiene a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Come si calcola la somma di una serie geometrica?
Per un numero finito di termini si usa Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) quando r ≠ 1. Con a₁ = 2, r = 3 e n = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Per una serie geometrica infinita con |r| < 1 si ricorre invece a S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
Quando una serie geometrica infinita ammette una somma?
Una serie geometrica infinita converge a una somma finita soltanto se il valore assoluto della ragione è strettamente minore di 1, cioè |r| < 1. In tal caso S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Se invece |r| ≥ 1 i termini non si riducono verso zero, dunque la somma cresce senza limite e la serie diverge.
Che differenza c'è fra una progressione geometrica e una aritmetica?
Una progressione geometrica moltiplica per una ragione costante (r) per ottenere ogni termine successivo, il che produce crescita o decadimento esponenziale. Una progressione aritmetica somma invece una differenza costante (d), producendo crescita o decrescita lineare. In generale una successione non può essere di entrambi i tipi, salvo il caso di ragione pari a 1, che dà una successione costante.
La ragione può essere negativa?
Sì. Una ragione negativa dà una successione a segni alterni, in cui il segno cambia a ogni termine. Per esempio, a₁ = 2 e r = −3 producono 2, −6, 18, −54, 162, con valori che si alternano fra positivi e negativi pur seguendo sempre aₙ = a₁ × r^(n−1).
Fonti
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)