Interpretare i risultati dei logaritmi
Le tre basi standard rispondono a domande diverse sullo stesso numero. La tabella seguente le mostra per x = 100.
| Logaritmo | Base | Valore per x = 100 | Uso tipico |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2,71828... | 4,60517 | Analisi matematica, crescita e decadimento continui |
| log10 | 10 | 2 | Notazione scientifica, decibel, pH, ordini di grandezza |
| log2 | 2 | 6,643856 | Informatica, teoria dell'informazione (bit) |
- I logaritmi non sono definiti per zero e per i numeri negativi, e la base deve essere positiva e diversa da 1.
- log_b(1) = 0 in ogni base, poiché b^0 = 1; inoltre log_b(b) = 1, poiché b^1 = b.
- Un logaritmo è negativo quando l'argomento è compreso fra 0 e 1: il logaritmo in base 10 di 0,01, per esempio, vale -2.
- La notazione varia da disciplina a disciplina: in matematica «log» senza base indica spesso ln, mentre in ingegneria e sulla maggior parte delle calcolatrici indica log10. La norma ISO 80000-2 raccomanda le notazioni esplicite ln, lg e lb.
Che cos'è un logaritmo?
Il logaritmo di un numero x in base b, scritto log_b(x), è l'esponente a cui occorre elevare b per ottenere x: se b^y = x, allora log_b(x) = y. Per esempio, log_10(100) = 2 poiché 10^2 = 100, e log_2(8) = 3 poiché 2^3 = 8. I logaritmi sono l'operazione inversa dell'elevamento a potenza.
Nella pratica dominano tre basi. Il logaritmo naturale (ln) usa la base e (circa 2,71828) ed è lo standard nell'analisi matematica, nei modelli di crescita e decadimento e nelle scienze. Il logaritmo decimale (log10) sta alla base della notazione scientifica e di scale di misura come i decibel e il pH. Il logaritmo binario (log2) è impiegato in tutta l'informatica, dall'analisi degli algoritmi alla teoria dell'informazione, dove misura i bit.
I logaritmi sono definiti soltanto per numeri positivi e la base deve essere positiva e diversa da 1. Non esiste alcun numero reale y per cui b^y risulti nullo o negativo, ed è per questo che il logaritmo di 0 e quelli dei numeri negativi non sono definiti; la base 1 non funziona perché 1 elevato a qualsiasi potenza vale sempre 1.
Come usare questo calcolatore di logaritmi
- Inserisci il numero x di cui vuoi il logaritmo. Deve essere positivo.
- Inserisci la base b. Deve essere positiva e diversa da 1; le scelte più frequenti sono 10, 2 ed e (circa 2,71828).
- Leggi il logaritmo in base b di x, calcolato con la formula del cambiamento di base.
- Confrontalo con i logaritmi naturale, decimale e binario dello stesso numero, mostrati accanto.
La formula del cambiamento di base
Qualsiasi logaritmo può essere ricavato da logaritmi in un'altra base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). È proprio grazie a questa identità di cambiamento di base che le calcolatrici valutano logaritmi in basi arbitrarie usando soltanto il logaritmo naturale.
Esempio svolto: log_2(8). Si calcola ln(8) = 2,079442 e ln(2) = 0,693147; il loro quoziente è 2,079442 / 0,693147 = 3. Verifica: 2^3 = 8. Altro esempio: log_10(100) = 2, poiché 10^2 = 100; per lo stesso valore il calcolatore riporta inoltre ln(100) = 4,60517 e log_2(100) = 6,643856.
Le identità algebriche fondamentali discendono dalla definizione: il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); il logaritmo di un quoziente è la differenza; il logaritmo di una potenza porta l'esponente davanti, log_b(x^k) = k log_b(x). Queste regole trasformano le moltiplicazioni in addizioni, che fu la motivazione originaria delle tavole logaritmiche.
Errori comuni
- Calcolare il logaritmo di zero o di un numero negativo: i logaritmi sono definiti soltanto per argomenti positivi.
- Supporre che log(x + y) sia uguale a log(x) + log(y): la regola della somma vale per i prodotti e non per le somme, ossia log(xy) = log(x) + log(y).
- Confondere quale base indichi «log»: molte calcolatrici e molti linguaggi di programmazione differiscono fra loro (in JavaScript, Math.log è il logaritmo naturale).
- Scrivere log_b(x^k) come (log_b x)^k: la regola della potenza porta l'esponente davanti come fattore moltiplicativo, non sopra il logaritmo.
- Usare la base 1, per la quale non esiste alcun logaritmo, dato che 1 elevato a qualsiasi potenza vale 1.
Domande frequenti
Quanto vale il logaritmo di 100 in base 10?
log_10(100) = 2, poiché 10 elevato alla potenza 2 dà 100. Il logaritmo decimale conta i fattori dieci, dunque log_10(1000) = 3, mentre il logaritmo in base 10 di 0,01 vale -2.
Come si calcola un logaritmo in una base che la mia calcolatrice non prevede?
Si usa la formula del cambiamento di base: log_b(x) = ln(x) / ln(b), oppure in modo equivalente log_10(x) / log_10(b). Per esempio, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, e in effetti 5^3 = 125.
Qual è la differenza fra ln e log?
ln indica sempre il logaritmo naturale, in base e (circa 2,71828). «log» è invece ambiguo: in matematica pura designa spesso il logaritmo naturale, mentre in ingegneria, in chimica e sulla maggior parte delle calcolatrici tascabili indica la base 10. La norma ISO 80000-2 raccomanda di scrivere ln per la base e, lg per la base 10 e lb per la base 2, così da evitare ambiguità.
Perché non posso calcolare il logaritmo di un numero negativo?
Perché nessuna potenza reale di una base positiva dà un risultato negativo: b^y è positivo per ogni y reale quando b > 0. Di conseguenza log_b(x) non ha valore reale per x <= 0. (Nell'analisi complessa i logaritmi dei numeri negativi si possono definire, ma risultano polidromi e restano fuori dalla portata dei calcolatori a valori reali.)
A che cosa serve log2?
Il logaritmo binario log_2 misura quanti raddoppi occorrono per raggiungere un numero, il che lo rende fondamentale in informatica: una ricerca binaria su n elementi ordinati richiede all'incirca log_2(n) passi e log_2 indica quanti bit servono a rappresentare n valori distinti. Per esempio, log_2(1024) = 10, dunque 10 bit indirizzano 1.024 valori.
Che cosa significa scala logaritmica?
Una scala logaritmica distanzia i valori per rapporti uguali anziché per differenze uguali: ogni passo moltiplica per un fattore costante. Decibel, scala Richter della magnitudo e pH sono logaritmici: un aumento di 1 unità di pH corrisponde a una riduzione di dieci volte della concentrazione di ioni idrogeno. Le scale logaritmiche rendono leggibili su un solo asse grandezze che coprono molti ordini di grandezza.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).