Da dove viene la formula quadratica
La formula quadratica si ricava dall'equazione generale ax^2 + bx + c = 0 (con a diverso da zero) usando una tecnica chiamata completamento del quadrato. Dividendo ogni termine per a si ottiene x^2 + (b/a)x + c/a = 0, e spostando la costante dall'altro lato si ottiene x^2 + (b/a)x = -c/a. Aggiungendo (b/2a)^2 a entrambi i lati, il lato sinistro diventa un quadrato perfetto: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
Semplificando il lato destro con un denominatore comune si ottiene (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Estraendo la radice quadrata di entrambi i lati (ammettendo sia la radice positiva sia quella negativa) si ottiene x + b/2a = più o meno la radice quadrata di (b^2 - 4ac) / (2a), e isolando x si produce la formula familiare: x = (-b più o meno la radice quadrata di b^2 - 4ac) / (2a). Ogni passaggio è algebra reversibile, motivo per cui la formula funziona per ogni equazione quadratica con coefficiente direttore diverso da zero, non solo per quelle che si scompongono in fattori in modo pulito.
Il discriminante: cosa ti dice prima di risolvere
L'espressione sotto la radice quadrata, b^2 - 4ac, è chiamata discriminante, e il suo segno da solo determina il tipo di radici dell'equazione, senza bisogno di calcolare le radici stesse. Un discriminante positivo significa che la radice quadrata è un numero reale positivo, quindi il più o meno produce due valori reali distinti di x. Un discriminante esattamente pari a zero significa che il termine sotto radice si annulla del tutto, quindi sia il caso più sia il caso meno collassano nell'unico valore x = -b / (2a).
Un discriminante negativo significa che l'espressione sotto la radice quadrata è negativa, il che non ha una radice quadrata reale -- solo una immaginaria, poiché la radice quadrata di un numero negativo è definita come un numero reale moltiplicato per i, dove i è l'unità immaginaria che soddisfa i^2 = -1. In questo caso la formula produce comunque due risposte, ma sono una coppia complessa coniugata della forma p + qi e p - qi, anziché numeri reali.
| Discriminante (b^2 - 4ac) | Numero e tipo di radici | Cosa fa la parabola |
|---|---|---|
| Positivo (> 0) | Due radici reali distinte | Attraversa l'asse x in due punti |
| Zero (= 0) | Una radice reale ripetuta, x = -b / (2a) | Tocca l'asse x in un solo punto (il vertice) |
| Negativo (< 0) | Due radici complesse coniugate, p ± qi | Non tocca né attraversa mai l'asse x |
Esempio pratico 1: due radici reali distinte (D > 0)
Risolvere x^2 - 3x + 2 = 0. Qui a = 1, b = -3, c = 2. Il discriminante è (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, che è positivo, quindi ci si aspettano due radici reali distinte. Applicando la formula: x = (3 più o meno la radice quadrata di 1) / (2 x 1) = (3 più o meno 1) / 2. Questo dà x1 = (3 + 1) / 2 = 2 e x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Queste radici possono essere verificate scomponendo in fattori l'equazione originale: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), che è zero esattamente quando x = 1 o x = 2, confermando la risposta della formula. Un ulteriore controllo usa le formule di Viète: la somma delle radici dovrebbe essere uguale a -b/a = 3, e infatti 2 + 1 = 3; il prodotto dovrebbe essere uguale a c/a = 2, e infatti 2 x 1 = 2.
Esempio pratico 2: una radice reale ripetuta (D = 0)
Risolvere x^2 - 4x + 4 = 0. Qui a = 1, b = -4, c = 4. Il discriminante è (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, quindi ci si aspetta un'unica radice ripetuta. Poiché il discriminante è zero, la formula si semplifica direttamente in x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Questa equazione si scompone come (x - 2)^2 = 0, confermando che x = 2 è l'unica radice, contata due volte (con molteplicità 2). Geometricamente, la parabola y = x^2 - 4x + 4 tocca appena l'asse x nel suo vertice, (2, 0), senza attraversarlo -- la firma visiva di un discriminante nullo.
Esempio pratico 3: due radici complesse coniugate (D < 0)
Risolvere x^2 + 2x + 5 = 0. Qui a = 1, b = 2, c = 5. Il discriminante è 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, che è negativo, quindi non esistono radici reali. Applicando la formula: x = (-2 più o meno la radice quadrata di -16) / (2 x 1). La radice quadrata di -16 è 4i, poiché (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16, quindi x = (-2 più o meno 4i) / 2 = -1 più o meno 2i.
Le due radici sono quindi -1 + 2i e -1 - 2i, una coppia complessa coniugata -- il che significa che condividono la stessa parte reale (-1) e hanno parti immaginarie di segno opposto. La parabola y = x^2 + 2x + 5 si trova interamente sopra l'asse x (il suo valore minimo, in x = -1, è 4), che è la ragione grafica per cui non attraversa mai l'asse e quindi non ha radici reali.
Domande frequenti
Cos'è la formula quadratica?
La formula quadratica risolve qualsiasi equazione della forma ax^2 + bx + c = 0, dove a non è zero, e afferma che x = (-b più o meno la radice quadrata di b^2 - 4ac), tutto diviso 2a. Si ricava completando il quadrato sull'equazione quadratica generale e funziona per ogni quadratica, che si scomponga o meno in numeri interi.
Cosa indica il discriminante?
Il discriminante, b^2 - 4ac, è l'espressione sotto la radice quadrata nella formula quadratica, e il suo segno rivela il tipo di radici prima di risolvere. Un discriminante positivo indica due radici reali distinte, un discriminante pari a zero indica una radice reale ripetuta in x = -b/(2a), e un discriminante negativo indica due radici complesse coniugate e nessuna soluzione reale.
Come si risolve un'equazione quadratica con radici complesse?
Quando il discriminante b^2 - 4ac è negativo, si estrae la radice quadrata del suo valore assoluto e vi si associa l'unità immaginaria i. Per x^2 + 2x + 5 = 0, il discriminante è -16, e la radice quadrata di -16 è 4i, il che dà radici x = (-2 più o meno 4i) / 2 = -1 più o meno 2i -- una coppia complessa coniugata.
Da dove viene la formula quadratica?
Viene dal completamento del quadrato sull'equazione generale ax^2 + bx + c = 0. Dividendo per a, isolando la costante e aggiungendo (b/2a)^2 a entrambi i lati, il lato sinistro diventa un quadrato perfetto, (x + b/2a)^2. Estraendo la radice quadrata di entrambi i lati e isolando x si produce x = (-b più o meno la radice quadrata di b^2 - 4ac) / (2a).
Un'equazione quadratica può avere esattamente una soluzione?
Sì, quando il discriminante è esattamente zero. In quel caso il più o meno nella formula collassa in un unico valore, x = -b / (2a), chiamato radice ripetuta. Per esempio, x^2 - 4x + 4 = 0 ha discriminante 16 - 16 = 0 e l'unica radice ripetuta x = 2, poiché l'equazione si scompone come (x - 2)^2 = 0.
Fonti
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).