Pertanyaan intinya: apakah urutan itu penting?
Permutasi dan kombinasi sama-sama menghitung banyaknya cara memilih r benda dari kelompok berisi n benda berbeda, tetapi keduanya menjawab pertanyaan yang berlainan. Permutasi menghitung banyaknya cara memilih sekaligus menyusun r benda, sehingga dua pilihan berisi benda yang sama dengan urutan berbeda dihitung sebagai dua hasil terpisah. Kombinasi hanya menghitung banyaknya cara memilih r benda, sehingga dua pilihan berisi benda yang sama dihitung sebagai satu hasil saja, tak peduli urutan pengambilannya.
Cara mudah memutuskan mana yang berlaku: bayangkan dua pilihan yang memakai benda persis sama tetapi disusun atau didaftar berbeda. Kalau kedua pilihan itu mewakili hasil nyata yang benar-benar berbeda — peringkat yang berbeda, kata sandi yang berbeda, urutan finis lomba yang berbeda — berarti urutan itu penting dan permutasilah hitungan yang benar. Kalau keduanya mewakili hasil nyata yang sama — panitia yang sama, kartu di tangan yang sama, himpunan nomor lotre yang sama — berarti urutan tidak penting dan kombinasilah hitungan yang benar.
Rumusnya: nPr dan nCr, dengan contoh terverifikasi
Banyaknya permutasi r benda yang dipilih dari n benda berbeda adalah nPr = n! / (n − r)!, sedangkan banyaknya kombinasi adalah nCr = n! / [r! (n − r)!] — rumus kombinasi tak lain rumus permutasi yang dibagi r!, karena membagi dengan r! menghapus r! urutan berbeda dari tiap kelompok berisi benda yang sama, yang oleh permutasi tadi dihitung terpisah.
Contoh terperinci: memilih 3 benda dari kelompok berisi 7. Permutasi: 7P3 = 7! / (7−3)! = 7 × 6 × 5 = 210. Kombinasi: 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35. Hitungan kombinasi itu persis hitungan permutasi dibagi 3! = 6, sehingga hubungan nCr = nPr / r! terbukti.
| Besaran | Rumus | Nilai untuk n=7, r=3 |
|---|---|---|
| Permutasi (urutan penting) | nPr = n! / (n − r)! | 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 |
| Kombinasi (urutan tidak penting) | nCr = n! / [r!(n − r)!] | 7C3 = 210 / 3! = 35 |
Dengan pengulangan vs tanpa pengulangan
Kedua rumus di atas mengandaikan tiap benda dari n benda itu paling banyak dipilih sekali — pengambilan tanpa pengulangan. Begitu benda boleh dipakai ulang (pengambilan dengan pengulangan, disebut juga pengambilan dengan pengembalian), rumus pencacahannya berubah. Permutasi dengan pengulangan cukup memangkatkan n dengan r, sebab tiap posisi dari r posisi itu punya seluruh n pilihan secara mandiri tanpa dipengaruhi pilihan sebelumnya: n^r.
Kombinasi dengan pengulangan memakai rumus yang lain, C(n + r − 1, r), yang menghitung banyaknya cara memilih r benda dari n jenis ketika pengulangan diperbolehkan sementara urutan tetap tidak penting — kasus ini lebih jarang dibutuhkan, tetapi muncul misalnya saat memilih beberapa sendok es krim dari n rasa dengan rasa yang sama boleh diambil lebih dari sekali.
| Kasus | Rumus | Contoh khas |
|---|---|---|
| Permutasi, tanpa pengulangan | n! / (n − r)! | Menyusun peringkat 3 pemenang dari 7 finalis |
| Permutasi, dengan pengulangan | n^r | PIN 4 angka yang digitnya boleh berulang |
| Kombinasi, tanpa pengulangan | n! / [r!(n − r)!] | Memilih 6 nomor untuk satu tiket lotre |
| Kombinasi, dengan pengulangan | (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] | Memilih 3 sendok dari 5 rasa es krim, boleh berulang |
Contoh terperinci: kode PIN dan tiket lotre
PIN 4 angka, ketika tiap posisi dari 4 posisi boleh berisi digit 0–9 mana pun dan digit boleh berulang (aturan lazim pada PIN bank), adalah contoh permutasi dengan pengulangan: urutan penting (1234 dan 4321 adalah PIN yang berbeda) dan pengulangan diizinkan, sehingga jumlahnya 10^4 = 10.000 PIN yang mungkin. Andai digit berulang dilarang, jumlahnya turun ke nilai permutasi tanpa pengulangan, yaitu 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 — lebih sedikit, karena setiap digit yang terpakai mengurangi satu pilihan bagi posisi berikutnya.
Format lotre klasik yang menarik 6 nomor dari kolam 49 nomor, tanpa nomor berulang dan urutan penarikan tidak menentukan kemenangan, adalah contoh kombinasi tanpa pengulangan: C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13.983.816. Angka sebesar itulah yang membuat format lotre semacam ini disebut permainan berpeluang sangat tipis — hitungan kombinasi membengkak sangat cepat begitu n tumbuh relatif terhadap r, karena yang dicacah adalah kelompok tak berurutan dari kolam yang besar, bukan sedikit susunan dari himpunan yang kecil.
Cara cepat mengingat rumus mana yang harus dipakai
“Permutasi” dan “posisi” sama-sama diawali huruf P, dan itu jadi jembatan ingatan yang berguna: permutasi peduli pada posisi — di urutan keberapa tiap benda ditempatkan. Sebaliknya, “Kombinasi” dan “kumpulan” sama-sama berawal K, dan kombinasi memang menggambarkan sebuah kumpulan, seperti isi tas atau anggota panitia, yang hanya keanggotaannya yang dihitung, bukan urutan masuknya.
Kata sandi, PIN, peringkat lomba, serta segala pengaturan tempat duduk atau penjadwalan adalah soal permutasi, sebab menukar urutan mengubah hasilnya. Kartu di tangan, himpunan nomor lotre, keanggotaan panitia, dan segala pemilihan kelompok tak berurutan adalah soal kombinasi, sebab yang penting hanya siapa anggotanya, bukan urutan mereka dipilih.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa beda permutasi dan kombinasi?
Permutasi menghitung susunan yang urutannya penting, sehingga memilih benda yang sama dengan urutan berbeda dihitung sebagai hasil yang berbeda. Kombinasi menghitung pemilihan yang urutannya tidak penting, sehingga benda yang sama dalam urutan apa pun dihitung sebagai satu hasil. Keduanya berangkat dari kelompok berisi n benda yang sama dan memilih r di antaranya, tetapi hitungan permutasi selalu lebih besar dari atau sama dengan hitungan kombinasi yang sepadan untuk n dan r yang sama.
Berapa nilai 7P3 dan bagaimana menghitungnya?
7P3 bernilai 210, yaitu banyaknya cara memilih sekaligus menyusun 3 benda dari kelompok berisi 7 benda berbeda ketika urutan penting. Hitungannya 7P3 = 7! / (7 − 3)! = 7 × 6 × 5 = 210, yakni mengalikan tiga faktor terbesar dari 7! karena faktor-faktor yang lebih kecil saling meniadakan dengan (7−3)! di penyebut.
Berapa nilai 7C3 dan bagaimana menghitungnya?
7C3 bernilai 35, yaitu banyaknya cara memilih 3 benda dari kelompok berisi 7 benda berbeda ketika urutan tidak penting. Hitungannya 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35 — tepat hitungan permutasi 7P3 = 210 dibagi 3! (banyaknya cara menyusun ulang tiap kelompok berisi 3), sebab kombinasi meleburkan semua urutan dari kelompok yang sama menjadi satu hasil.
Mengapa PIN memakai permutasi sedangkan lotre memakai kombinasi?
PIN memperlakukan 1234 dan 4321 sebagai kode yang berbeda, jadi urutan digit mengubah hasilnya, dan itu skenario permutasi — dengan pengulangan diizinkan pada PIN 4 angka yang lazim, jumlahnya 10^4 = 10.000 kemungkinan. Tiket lotre menang semata-mata berdasarkan nomor apa yang tertarik, bukan urutan keluarnya, sehingga dua penarikan dengan nomor sama dalam urutan berbeda adalah hasil kemenangan yang sama, dan itu skenario kombinasi — untuk format 6 dari 49, C(49,6) = 13.983.816 himpunan nomor yang mungkin.
Apa arti “dengan pengulangan” dalam rumus permutasi atau kombinasi?
Artinya sebuah benda boleh dipilih lebih dari sekali dalam hasil yang sama. Permutasi dengan pengulangan memakai n^r (tiap posisi dari r posisi punya seluruh n pilihan secara mandiri), sedangkan kombinasi dengan pengulangan memakai (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!]. Tanpa pengulangan, tiap benda paling banyak dipakai sekali, dan itulah yang diandaikan rumus baku nPr dan nCr.
Referensi
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018 (permutations, combinations, and counting with repetition).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (combinatorial counting methods).
- Weisstein EW. "Permutation" and "Combination." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.