Types de triangles et inégalité triangulaire
Un triangle se classe selon la longueur de ses côtés et selon son plus grand angle ; le tableau ci-dessous récapitule les deux systèmes.
| Critère de classement | Type | Description |
|---|---|---|
| Par les côtés | Équilatéral | Les trois côtés égaux, tous les angles à 60° |
| Par les côtés | Isocèle | Exactement deux côtés égaux |
| Par les côtés | Scalène | Les trois côtés de longueurs différentes |
| Par l'angle | Acutangle | Les trois angles inférieurs à 90° |
| Par l'angle | Rectangle | Un angle exactement égal à 90° |
| Par l'angle | Obtusangle | Un angle supérieur à 90° |
- L'inégalité triangulaire exige que la somme de deux côtés quelconques dépasse le troisième (a + b > c, a + c > b, b + c > a) ; trois longueurs qui y contreviennent ne forment aucun triangle, et le calculateur ne renvoie alors aucun résultat.
- En mode « deux côtés + angle inclus », l'angle C saisi doit rester strictement compris entre 0° et 180°, faute de quoi le triangle s'aplatirait en une droite.
- Les trois angles intérieurs d'un triangle totalisent toujours exactement 180°, propriété que le calculateur utilise comme contrôle lorsqu'il déduit le troisième angle.
Que résout ce calculateur de triangle ?
Tout triangle est entièrement déterminé par trois mesures indépendantes : le plus souvent ses trois côtés (SSS), deux côtés et l'angle qu'ils encadrent (SAS), ou, pour un triangle rectangle, ses deux cathètes. À partir de l'une de ces combinaisons, les identités trigonométriques classiques livrent tous les autres côtés, tous les angles, l'aire et le périmètre.
Ce calculateur prend en charge les trois modes de saisie. En mode « trois côtés », il vérifie d'abord l'inégalité triangulaire — chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres — avant de résoudre, car trois longueurs qui échouent à ce test ne peuvent former un triangle.
Comment utiliser ce calculateur de triangle
- Choisissez le mode de données : trois côtés, deux côtés plus l'angle inclus, ou cathètes d'un triangle rectangle.
- En mode « trois côtés », saisissez les côtés a, b et c.
- En mode « deux côtés + angle inclus », saisissez les côtés a et b ainsi que l'angle C qu'ils encadrent, strictement compris entre 0° et 180°.
- En mode « triangle rectangle », saisissez les deux cathètes comme côtés a et b ; l'hypoténuse en est déduite automatiquement.
- Lisez l'aire, le périmètre, le côté manquant s'il y a lieu et les trois angles intérieurs, recalculés instantanément.
Les formules de résolution du triangle
La formule de Héron donne l'aire d'un triangle directement à partir de ses trois côtés, sans qu'aucun angle soit connu. La loi des cosinus, quant à elle, fournit le côté manquant en mode SAS et restitue les trois angles à partir de trois longueurs connues.
Erreurs fréquentes
- Saisir trois longueurs qui violent l'inégalité triangulaire — 2, 3 et 10, par exemple — et qui ne peuvent donc former de triangle valide.
- En mode SAS, saisir un angle qui n'est pas celui encadré par les deux côtés donnés : la loi des cosinus exige l'angle inclus.
- Confondre les cathètes et l'hypoténuse en mode « triangle rectangle » : les côtés a et b doivent être les deux côtés de l'angle droit.
- Mélanger degrés et radians à la lecture des angles, toujours renvoyés en degrés.
Questions fréquentes
Comment trouver l'aire d'un triangle dont on connaît les trois côtés ?
Appliquez la formule de Héron : A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), où s est le demi-périmètre (a+b+c)/2. Pour un triangle 13-14-15, s = 21, d'où A = √(21×8×7×6) = √7056 = 84 unités carrées exactement.
Quels sont les angles d'un triangle 13-14-15 ?
Pour des côtés a = 13, b = 14 et c = 15, la loi des cosinus donne un angle A ≈ 53,13°, un angle B ≈ 59,49° et un angle C ≈ 67,38°, dont la somme vaut bien 180° aux arrondis près.
Comment résoudre un triangle à partir de deux côtés et de l'angle inclus ?
Utilisez la loi des cosinus pour obtenir le troisième côté : c² = a² + b² − 2ab·cos C. Déterminez ensuite les deux angles restants par la loi des cosinus réarrangée pour les angles, ou par la loi des sinus.
Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?
L'inégalité triangulaire énonce que la somme des longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle doit dépasser la longueur du troisième. Si cette condition échoue pour une seule paire, les trois longueurs ne peuvent former de triangle.
Comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
L'hypoténuse vaut la racine carrée de la somme des carrés des deux cathètes : c = √(a² + b²). Un triangle rectangle de cathètes 3 et 4 a ainsi une hypoténuse de √(9+16) = √25 = 5.
Un triangle peut-il avoir deux angles droits ?
Non. Les trois angles intérieurs d'un triangle plan totalisant toujours exactement 180°, deux angles de 90° ne laisseraient que 0° au troisième, ce qui ne définit aucun triangle.
Références
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).