Les triplets pythagoriciens courants
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers positifs vérifiant exactement a² + b² = c². Le tableau ci-dessous recense les plus petits et les plus employés.
| Cathète a | Cathète b | Hypoténuse c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- Tout multiple entier d'un triplet pythagoricien en est un également : 6-8-10 et 9-12-15 sont ainsi deux multiples de 3-4-5.
- Le théorème de Pythagore n'est rigoureusement vrai que pour les triangles rectangles tracés dans un plan euclidien ; il ne s'applique pas aux triangles dessinés sur une surface courbe, une sphère par exemple.
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore énonce que, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse — le côté opposé à l'angle droit — égale la somme des carrés des deux autres côtés, appelés cathètes : a² + b² = c². C'est l'une des relations les plus employées de toute la géométrie ; on l'attribue au mathématicien grec Pythagore, mais plusieurs traditions mathématiques anciennes l'ont démontrée indépendamment.
Le théorème ne vaut que pour les triangles rectangles, c'est-à-dire ceux qui possèdent exactement un angle de 90°. Il sert à retrouver un côté inconnu quand les deux autres sont connus, et il fonde la formule de la distance, les identités trigonométriques et d'innombrables problèmes concrets de mesure en construction, en navigation et en ingénierie.
Comment utiliser ce calculateur du théorème de Pythagore
- Choisissez la grandeur cherchée : l'hypoténuse, à partir des deux cathètes, ou une cathète manquante, à partir de l'hypoténuse et de l'autre cathète.
- En mode hypoténuse, saisissez les cathètes a et b.
- En mode cathète manquante, saisissez la cathète connue (a) et l'hypoténuse (c) ; celle-ci doit être supérieure à la cathète connue.
- Lisez le côté manquant, ainsi que l'aire et le périmètre du triangle, calculés à partir des trois côtés.
La formule du théorème de Pythagore
Une seule et même équation de base se réarrange selon le côté inconnu.
Erreurs fréquentes
- Appliquer la formule à un triangle qui n'est pas rectangle : le théorème n'est valable que si un angle vaut exactement 90°.
- Intégrer l'hypoténuse dans a² + b² = c² comme s'il s'agissait d'une cathète, au lieu de résoudre c² − a² = b² pour la cathète manquante.
- Saisir en mode « cathète manquante » une cathète égale ou supérieure à l'hypoténuse, configuration géométriquement impossible pour un triangle rectangle.
- Oublier d'extraire la racine carrée après avoir additionné ou soustrait les carrés : le théorème livre d'abord la valeur au carré.
Questions fréquentes
Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?
a² + b² = c², où a et b désignent les deux cathètes d'un triangle rectangle et c l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit.
Comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
Extrayez la racine carrée de la somme des carrés des deux cathètes : c = √(a² + b²). Pour des cathètes de 3 et 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Comment trouver une cathète manquante avec le théorème de Pythagore ?
Retranchez le carré de la cathète connue du carré de l'hypoténuse, puis extrayez la racine carrée : b = √(c² − a²). Pour une hypoténuse de 5 et une cathète de 3, b = √(25 − 9) = √16 = 4.
Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?
C'est un ensemble de trois entiers positifs a, b et c vérifiant exactement a² + b² = c², comme 3-4-5, 5-12-13 ou 8-15-17.
Le théorème de Pythagore vaut-il pour tous les triangles ?
Non. Il ne s'applique qu'aux triangles rectangles, ceux qui comptent exactement un angle de 90°. Pour les autres, on recourt à la loi des cosinus, qui en constitue la généralisation.
Quelle est l'aire d'un triangle rectangle 3-4-5 ?
L'aire d'un triangle rectangle vaut la moitié du produit de ses deux cathètes : A = ½ × a × b. Pour des cathètes de 3 et 4, l'aire vaut ½ × 3 × 4 = 6 unités carrées, et le périmètre 3 + 4 + 5 = 12 unités.
Références
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).