Les formules d'aire par forme
Le tableau ci-dessous récapitule la formule standard et les données requises pour chaque forme prise en charge.
| Forme | Formule de l'aire | Données requises |
|---|---|---|
| Cercle | A = πr² | rayon r |
| Triangle | A = ½ × base × hauteur | base, hauteur |
| Rectangle | A = base × largeur | base, largeur |
| Trapèze | A = ½ × (a + b) × hauteur | côtés parallèles a, b, hauteur |
| Parallélogramme | A = base × hauteur | base, hauteur |
| Ellipse | A = π × a × b | demi-axes a, b |
| Polygone régulier | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | côtés n, longueur de côté s |
| Secteur circulaire | A = ½ r²θ | rayon r, angle θ |
- Le périmètre d'une ellipse n'a pas de forme close exacte : il fait appel à une intégrale elliptique. Ce calculateur utilise la deuxième approximation de Ramanujan, dont l'erreur reste inférieure à environ 0,02 % même pour des ellipses très allongées, et bien moindre pour les ellipses quasi circulaires.
- L'aire d'un triangle calculée par ½ × base × hauteur n'est exacte que si la hauteur est bien la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé, et non la longueur d'un côté oblique.
- Pour un polygone irrégulier, ou pour un triangle dont on ne connaît que les trois côtés, employez plutôt la formule de Héron : voyez le calculateur de triangle.
- La formule du polygone régulier suppose les n côtés et les n angles intérieurs égaux ; elle ne s'applique pas aux polygones irréguliers.
Qu'est-ce que l'aire ?
L'aire est l'étendue de l'espace à deux dimensions délimité par le contour d'une figure ; on l'exprime en unités carrées, mètres carrés ou pieds carrés par exemple. À chaque figure régulière correspond une formule qui déduit l'aire d'un petit nombre de dimensions mesurées : le rayon pour un cercle, la base et la largeur pour un rectangle.
Les huit formes traitées ici — cercle, triangle, rectangle, trapèze, parallélogramme, ellipse, polygone régulier et secteur circulaire — couvrent l'essentiel de ce que l'on rencontre en géométrie scolaire, dans les métrés du bâtiment et dans les problèmes de mesure du quotidien. Chacune s'appuie sur sa propre formule standard.
Comment utiliser ce calculateur d'aire
- Choisissez la forme à mesurer dans la liste déroulante.
- Saisissez les dimensions demandées pour cette forme : le rayon pour un cercle, la base et la hauteur pour un triangle ou un parallélogramme, etc.
- Pour un trapèze, indiquez les deux côtés parallèles (a et b) ainsi que la hauteur perpendiculaire qui les sépare.
- Pour un polygone régulier, indiquez le nombre de côtés (n) et la longueur d'un côté (a) ; pour un secteur, le rayon et l'angle au centre en degrés.
- Lisez l'aire et le résultat secondaire éventuel — périmètre ou longueur d'arc —, qui se recalculent instantanément à chaque modification.
La formule d'aire propre à chaque forme
Chaque forme dispose de sa propre formule d'aire close. L'angle saisi pour un secteur circulaire est converti des degrés vers les radians avant utilisation, puisque la formule du secteur se définit en radians.
Erreurs fréquentes
- Saisir la longueur d'un côté oblique d'un triangle à la place de la hauteur perpendiculaire, ce qui gonfle l'aire calculée.
- Confondre rayon et diamètre pour un cercle ou un secteur : la formule réclame le rayon.
- Pour un secteur, saisir l'angle en radians alors que le calculateur attend des degrés (0 à 360°).
- Pour un trapèze, prendre un côté non parallèle pour l'un des deux côtés parallèles a et b.
- Croire que la formule du polygone régulier vaut aussi pour les figures irrégulières, aux côtés ou aux angles inégaux.
Questions fréquentes
Comment trouver l'aire d'un cercle ?
L'aire d'un cercle vaut π multiplié par le carré du rayon (A = πr²). Un cercle de rayon 5 a donc une aire de π × 5² = π × 25 ≈ 78,5398 unités carrées.
Quelle est l'aire d'un triangle ?
L'aire d'un triangle vaut la moitié du produit de sa base par sa hauteur perpendiculaire (A = ½ × base × hauteur). Un triangle de base 4 et de hauteur 3 a une aire de ½ × 4 × 3 = 6 unités carrées.
Comment calculer l'aire d'un trapèze ?
L'aire d'un trapèze vaut la demi-somme de ses deux côtés parallèles, multipliée par la hauteur perpendiculaire qui les sépare : A = ½ × (a + b) × hauteur. Avec des côtés parallèles de 3 et 5 et une hauteur de 4, l'aire vaut ½ × (3 + 5) × 4 = 16 unités carrées.
Quelle est l'aire d'un polygone régulier ?
Elle vaut n × s² ÷ (4 × tan(π/n)), où n est le nombre de côtés et s la longueur d'un côté. Un hexagone régulier (n = 6) de côté 4 a ainsi une aire de (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41,5692 unités carrées.
Comment calcule-t-on l'aire d'une ellipse ?
L'aire d'une ellipse vaut π multiplié par ses deux demi-axes : A = π × a × b, où a et b désignent le demi-grand axe et le demi-petit axe. Une ellipse de demi-axes 3 et 5 a une aire de π × 3 × 5 ≈ 47,1239 unités carrées.
Quelle est l'aire d'un secteur circulaire ?
L'aire d'un secteur vaut la moitié du carré du rayon multipliée par l'angle au centre exprimé en radians : A = ½r²θ. Un secteur de rayon 5 et d'angle au centre de 60° (θ = π/3 radians) a donc une aire de ½ × 25 × (π/3) ≈ 13,0900 unités carrées.
Le calculateur donne-t-il aussi le périmètre ?
Oui, pour les formes dont le périmètre se déduit clairement des données fournies — rectangle, ellipse, polygone régulier et secteur —, le calculateur renvoie également le périmètre, la circonférence pour un cercle et la longueur d'arc pour un secteur.
Références
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).